Definiția raționalizării radicalilor (matematică)

Raționalizarea radicalilor este un proces matematic care se realizează atunci când există un coeficient cu radicali sau rădăcini în numitor. În acest fel, operațiile matematice pot fi facilitate acolo unde sunt implicați coeficienti cu radicali și alte tipuri de obiecte matematice.

Tipuri de coeficienti cu radicali

Este important de menționat unele tipuri de coeficienti cu radicali care pot fi raționalizați. Cu toate acestea, înainte de a intra pe deplin în procesul de simplificare, trebuie reținute câteva concepte importante. În primul rând, să presupunem că avem următoarea expresie: \(\sqrt[m]{n}\). Aceasta este rădăcina \(m\) a numărului \(n\), adică rezultatul operației menționate este un număr astfel încât ridicându-l la puterea \(m\) ne dă numărul \(n\) ca urmare). Puterea și rădăcina sunt operații inverse, în așa fel încât: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Pe de altă parte, este de menționat că produsul a două rădăcini egale este egal cu rădăcina produsului, adică: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Aceste două proprietăți vor fi cei mai buni aliați ai noștri atunci când raționalizăm.

Cel mai comun și simplu tip de coeficient cu un radical pe care îl putem găsi este următorul:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Unde \(a\), \(b\) și \(c\) pot fi orice numere reale. Procesul de raționalizare constă în acest caz în găsirea unei modalități de a obține în coeficient expresia \(\sqrt {{c^2}} = c\) pentru a scăpa de radical. În acest caz, este suficient să înmulțiți cu \(\sqrt c \) atât numărătorul, cât și numitorul:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Amintindu-ne de cele menționate mai sus, știm că \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Prin urmare, obținem în sfârșit că:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

În acest fel am raționalizat expresia anterioară. Această expresie nu este altceva decât un caz particular al unei expresii generale care este următoarea:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Unde \(a\), \(b\), \(c\) sunt numere reale și \(n\), \(m\) sunt puteri pozitive. Raționalizarea acestei expresii se bazează pe același principiu ca și precedentul, adică obțineți expresia \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) la numitor. Putem realiza acest lucru înmulțind cu \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) atât numărătorul cât și numitorul:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Putem dezvolta produsul radicalilor din numitor după cum urmează: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Prin urmare, coeficientul raționalizat rămâne astfel:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Un alt tip de coeficient cu radicali ce poate fi raționalizat este cel în care avem un binom cu rădăcini pătrate la numitor:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Unde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) și \(e\;\) sunt numere reale. Simbolul \( ± \) indică faptul că semnul poate fi pozitiv sau negativ. Binomul numitor poate avea ambele rădăcini sau doar una, totuși, folosim acest caz pentru a obține un rezultat mai general. Ideea centrală de a desfășura procesul de raționalizare în acest caz este aceeași ca în cazurile anterioare, doar atât în acest caz vom înmulți atât numărătorul, cât și numitorul cu conjugatul binomului găsit în numitor. Conjugatul unui binom este un binom care are aceiași termeni, dar al cărui simbol central este opus binomului original. De exemplu, conjugatul binomului \(ux + vy\) este \(ux – vy\). Acestea fiind spuse, atunci avem:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Simbolul \( \mp \) indică faptul că semnul poate fi pozitiv sau negativ, dar trebuie să fie opus simbolului numitorului pentru ca binoamele să fie conjugate. Dezvoltând înmulțirea binoamelor numitorului obținem că:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

În sfârșit, obținem că:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \dreapta)\)

Cu aceasta am raționalizat coeficientul cu radical. Acești coeficienti cu radicali sunt cei care în general pot fi raționalizați. În continuare, vom vedea câteva exemple de raționalizare a radicalilor.

exemple

Să ne uităm la câteva exemple de raționalizare cu coeficienti cu radicali de tipul menționat mai sus. Mai întâi să presupunem că avem următorul coeficient:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

În acest caz, este suficient să înmulțiți numărătorul și numitorul cu \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{{14}}\sqrt 2 \)

Acum, să presupunem că avem următorul coeficient cu radicalul:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

În acest caz avem o a șasea rădăcină a unei puteri cubice. În secțiunea anterioară am menționat că dacă avem un radical de forma \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) în numitorul, putem raționaliza câtul prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Comparând acest lucru cu cazul prezentat aici putem realiza că \(n = 6\), \(c = 4\) și \(m = 3\), prin urmare Prin urmare, putem raționaliza câtul anterior înmulțind numărătorul și numitorul cu \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

În sfârșit, să presupunem că avem următoarea funcție:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

După cum se arată în secțiunea anterioară, pentru a raționaliza acest tip de coeficient cu radicali, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului. În acest caz, conjugatul numitorului ar fi \(x – \sqrt x \). Prin urmare, expresia ar fi următoarea:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Dezvoltând înmulțirea binoamelor conjugate ale numitorului, obținem în final că:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referințe

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel și Reyes Ricardo. (2009). Aritmetic. Mexic: Pearson Education.