Что такое иерархия операций?

Иерархия операций — это математическое соглашение, устанавливающее порядок, в котором комбинированные вычислительные действия должны выполняться в одно и то же математическое высказывание, то есть когда есть математическое высказывание, где есть математические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, степени и корни) вместе взятые, они должны выполняться в определенном порядке, чтобы получить результат. общий.

Но зачем нужна иерархия? Чтобы ответить на него, мы должны сначала хорошо понять природу математических операций, состоящих из преобразования, применяемого к элементам множества. Подумаем, например, о множестве действительных чисел, то есть о тех числах, которые мы все знаем. Если мы возьмем число a и добавим к нему другое число b, мы получим другое число c, принадлежащее тому же множеству действительных чисел, то есть:

а+б = с

Кроме того, порядок, в котором представлены слагаемые, не влияет на конечный результат, т. е. а+б = б+а, это свойство называется коммутативностью. Важно говорить о сложении, потому что это основная операция, из которой выводятся все остальные. Умножение есть не что иное, как серия повторяющихся сложений. Если у нас снова есть число а и мы умножаем его на число b, то иногда мы прибавляем число b к самому себе или, наоборот, прибавляем b, умноженное на число а, к самому себе. Последнее верно, поскольку умножение коммутативно, как и сложение, отсюда следует, что:

а⋅б = б⋅а. Вышеизложенное можно выразить так:

Мы можем легко представить это на примере. Сделаем умножение 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

А что, если нам нужно выполнить операцию, в которой мы объединили сложение с умножением? Например: а⋅б+в. В каком порядке нужно выполнять сложение и умножение? Какой операции мы должны отдать предпочтение? Если мы сначала выполним умножение и представим его как сумму, мы получим:

Теперь, если бы мы сначала выполнили сложение, а затем умножение, мы получили бы:

Поскольку сложение коммутативно, мы можем перегруппировать правую часть уравнения, чтобы получить:

Сравнивая результаты, полученные в обеих ситуациях, легко понять, что:

Таким образом, мы заключаем, что порядок, в котором решено выполнять операции, влияет на получаемый результат. То же самое происходит, когда мы привлекаем силы. Когда мы возводим число b в степень c, мы умножаем c на число b само на себя, то есть:

Теперь мы приступаем к выполнению следующей комбинированной операции, включающей умножение и степень a⋅b^с в другом порядке, как в предыдущем случае. Если мы сначала отдадим приоритет силе, мы получим:

Теперь, если мы сначала выполним умножение, а затем возведение в степень, мы получим:

Воспользовавшись коммутативностью умножения, мы можем перегруппировать правую часть уравнения следующим образом:

Опять же, мы можем сравнить результаты, полученные при выполнении операций в другом порядке, чтобы понять, что:

Также в этом случае порядок выполнения операций влияет на получаемый результат. Итак, в каком порядке должны выполняться операции? Иерархия операций устанавливает, что степени находятся на более высоком уровне иерархии, чем умножения, таким образом, что степени имеют приоритет в математическом утверждении. В свою очередь умножения имеют более высокий уровень иерархии, чем сложения.

А как насчет вычитания, деления и корней? Вычитание — это операция, обратная сложению: когда мы вычитаем число b из числа a, мы получаем другое число c, такое что c+b=a. Нечто подобное происходит с делением и вычитанием. Если мы разделим число a на число b и в результате получим число c, то мы нашли такое число, что b⋅c=a. И, наконец, вычисляя корень b числа a, мы находим число c такое, что c^б=а. Эти эквивалентности ставят вычитание, деление и корень на тот же уровень иерархии, что и сложение, умножение и степень соответственно.

Скобки и квадратные скобки практики

Что произойдет, если мы захотим отдать приоритет некоторым операциям в математическом выражении независимо от их уровня иерархии? Для этого используются скобки и квадратные скобки. Предположим, у нас есть формулировка принципа a⋅b+c. Из того, что мы сказали ранее, мы уже знаем, что сначала нужно выполнить умножение, а затем сложение. Но что, если мы хотим, чтобы этого не было? Для этого нам пришлось бы использовать скобки или квадратные скобки, чтобы отделить сложение от умножения и, таким образом, отдать приоритет вычислению сложения в первую очередь, то есть: a⋅(b+c). Это приводит к тому, что операторы, разделенные скобками и квадратными скобками, имеют наивысший приоритет по сравнению со всеми другими операциями.

При всем сказанном выше иерархия операций, или порядок их выполнения, такова:

1) Скобки и квадратные скобки
2) Силы и корни
3) Умножения и деления
4) Сложение и вычитание

Рекомендации

час Бенке, Ф. Бахман, К. Фладт, В. Сусс, Х. Герике, Ф. Хоэнберг, Г. Пикерт, Х. Рау и С. час Гулд. (1983). Основы математики: Том I. Кембридж, Массачусетс и Лондон: MIT Press.