Definícia geometrickej progresie

Postupnosť čísel \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Nazýva sa geometrická progresia, ak počnúc druhým je každý prvok získaný vynásobením predchádzajúceho číslom \(r\ne 0\), to znamená, ak:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Kde:
- Číslo \(r\) sa nazýva pomer geometrickej postupnosti.
- Prvok \({{a}_{1}}\) sa nazýva prvý prvok aritmetickej postupnosti.

Prvky geometrickej progresie možno vyjadriť ako prvý prvok a jeho pomer, to znamená:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Sú to prvé štyri prvky aritmetického postupu; vo všeobecnosti je \(k-\)-tý prvok vyjadrený takto:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Keď \({{a}_{1}}\ne 0,~\) predchádzajúceho výrazu dostaneme:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Vyššie uvedený výraz je ekvivalentom:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Príklad/cvičenie 1. Nájdite rozdiel aritmetickej postupnosti: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​a nájdite prvky \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Riešenie

Keďže \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) môžeme usúdiť, že pomer je:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Príklad/cvičenie 2. V aritmetickej postupnosti máme: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), určte pomer geometrickej postupnosti a zapíšte prvých 5 prvkov.

Riešenie

Nosenie

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Nájsť prvých 5 prvkov aritmetického postupu; vypočítame \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Prvých 5 prvkov geometrickej progresie je:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Príklad/cvičenie 3. Tenké sklo pohltí 2 % slnečného žiarenia, ktoré ním prejde.

do. Koľko percent svetla prejde cez 10 tých tenkých skiel?

b. Koľko percent svetla prejde cez 20 tých tenkých skiel?

c. Určte percento svetla, ktoré prejde cez \(n\) tenké sklá s rovnakými vlastnosťami, umiestnené za sebou.

Riešenie

Budeme reprezentovať s 1 celkové svetlo; absorbovaním 2% svetla potom 98% svetla prechádza cez sklo.

Pomocou \({{a}_{n}}}\) budeme reprezentovať percento svetla, ktoré prejde cez sklo \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Vo všeobecnosti \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

do. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); čo nám hovorí, že po skle 10 prejde 81,707 % svetla

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); čo nám hovorí, že po prejdení pohára 20 66,761 %

Súčet prvých \(n\) prvkov geometrickej postupnosti

Vzhľadom na geometrickú postupnosť \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Keď \(r\ne 1\) je súčet prvých \(n\) prvkov, súčet:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Dá sa počítať s

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Príklad/cvičenie 4. Z príkladu 2 vypočítajte \({{S}_{33}}\).

Riešenie

V tomto prípade \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) a \(r=-4\)

uplatnenie

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Príklad/cvičenie 5. Predpokladajme, že osoba odovzdá fotografiu svojho domáceho maznáčika a podelí sa o ňu s 3 svojimi priateľmi na internetovej sociálnej sieti a každý z nich za hodinu zdieľajú fotografiu s tromi ďalšími ľuďmi a potom o jednu ďalšiu hodinu každý z nich zdieľa fotografiu s 3 ďalšími ľudia; A tak to ide ďalej; každý, kto dostane fotografiu, ju do hodiny zdieľa s 3 ďalšími ľuďmi. Koľko ľudí už má fotografiu za 15 hodín?

Riešenie

V nasledujúcej tabuľke sú uvedené prvé výpočty
Čas Ľudia, ktorí dostanú fotografiu Ľudia, ktorí majú fotografiu
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Počet ľudí, ktorí dostanú fotografiu za hodinu \(n\) sa rovná: \({{3}^{n}}\)

Počet ľudí, ktorí už majú fotografiu za hodinu, sa rovná:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

uplatnenie

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

S \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) a \(n=15\)

pričom:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometrické prostriedky

Dané dve čísla \(a~\) a \(b,\) sú čísla \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) sa nazývajú \(k\) geometrické priemery čísel \(a~\) a \(b\); ak postupnosť \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) je geometrická postupnosť.

Aby sme poznali hodnoty \(k\) geometrických priemerov čísel \(a~\) a \(b\), stačí poznať pomer aritmetickej progresie, preto je potrebné vziať do úvahy nasledovné:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Z vyššie uvedeného vytvoríme vzťah:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Vyriešením pre \(d\) dostaneme:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Príklad/cvičenie 6. Nájdite 2 geometrické priemery medzi číslami -15 a 1875.

Riešenie

Pri aplikácii

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

s \(b=375,~a=-15\) a \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Tri geometrické prostriedky sú:

\(75,-375\)

Príklad/cvičenie 7. Osoba investovala peniaze a dostávala úroky každý mesiac počas 6 mesiacov a jeho kapitál sa zvýšil o 10%. Aká bola mesačná úroková sadzba za predpokladu, že sa sadzba nezmenila?

Riešenie

Nech \(C\) je investovaný kapitál; konečný kapitál je \(1,1C\); Na vyriešenie problému musíme umiestniť 5 geometrických prostriedkov použitím vzorca:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

S \(k=5,~b=1,1C\) a \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Prijatá mesačná sadzba bola \(1,6 %\)