Definícia aritmetickej progresie

Postupnosť čísel \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​ sa nazýva aritmetická postupnosť, ak sa rozdiel medzi dvoma po sebe idúcimi číslami rovná rovnakému číslu \(d\), to je Áno:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Číslo \(d\) sa nazýva rozdiel aritmetickej postupnosti.

Prvok \({a_1}\) sa nazýva prvý prvok aritmetickej postupnosti.

Prvky aritmetickej progresie možno vyjadriť ako prvý prvok a jeho rozdiel, to znamená:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Sú to prvé štyri prvky aritmetického postupu; Vo všeobecnosti je \(k – \)-tý prvok vyjadrený takto:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Z vyššie uvedeného výrazu dostaneme:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Vyššie uvedený výraz je ekvivalentom:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Príklady použité pre aritmetický postup

1. Nájdite rozdiel aritmetickej postupnosti: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​a nájdite prvky \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Riešenie

Pretože \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), môžeme dospieť k záveru, že rozdiel je:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. V aritmetickej postupnosti máme: \({a_{17}} = 20\;\)a \({a_{29}} = – 130\), určte rozdiel aritmetickej postupnosti a napíšte prvých 5 prvkov.

Riešenie

Nosenie

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \vľavo( {12} \vpravo) d\)

\( – 150 = \vľavo( {12} \vpravo) d\)

\(12 d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Ak chcete nájsť prvých 5 prvkov; vypočítame \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Prvých 5 prvkov je:

\(220 220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Polygonálne čísla a súčet prvých \(n\) prvkov aritmetickej postupnosti

trojuholníkové čísla

Trojuholníkové čísla \({T_n}\;\) sa tvoria z aritmetickej postupnosti: \(1,2,3,4 \ldots \); nasledujúcim spôsobom.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

štvorcové čísla

Štvorcové čísla \({C_n}\;\) sa tvoria z aritmetickej postupnosti: \(1,3,5,7 \ldots \); nasledovne

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

päťuholníkové čísla

Štvorcové čísla \({P_n}\;\) sa tvoria z aritmetickej postupnosti: \(1,3,5,7 \ldots \); nasledovne

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Ďalej ukážeme vzorec na nájdenie súčtu prvých \(n\) prvkov aritmetickej postupnosti.

Vzhľadom na aritmetickú postupnosť \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). Na výpočet súčtu \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) môžete použiť vzorec:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

čo je ekvivalentné

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Použitím predchádzajúceho vzorca sa získajú vzorce na výpočet trojuholníkových, štvorcových a päťuholníkových čísel; ktoré sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

polygonálne číslo	\({a_1}\)	\(d\)	Vzorec
Trojuholníkový \(n – \)-tý	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Štvorcová \(n – \)tá	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Päťuholníkový \(n – \)-tý	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Príklad na polygonálnych číslach

3. Z príkladu 2 vypočítajte \({S_{33}}\).

Riešenie

V tomto prípade \({a_1} = 200\) a \(d = – \frac{{25}}{2}\)

uplatnenie

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

aritmetický priemer

Ak sú dané dve čísla \(a\;\) a \(b,\), čísla \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) sa nazývajú \(k\) znamená aritmetické čísla \(a\;\) a \(b\); ak postupnosť \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) je aritmetickou postupnosťou.

Aby sme poznali hodnoty \(k\) aritmetického priemeru čísel \(a\;\) a \(b\), stačí poznať rozdiel aritmetickej postupnosti, preto musí byť zvážiť:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Z vyššie uvedeného vytvoríme vzťah:

\(b = a + \vľavo( {k + 2 – 1} \vpravo) d\)

Vyriešením pre \(d\) dostaneme:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

príklady

4. Nájdite 7 aritmetických priemerov medzi číslami -5 a 25.

Riešenie

Pri aplikácii

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

s \(b = 25,\;a = – 5\) a \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 aritmetických priemerov sú:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Jedna osoba dala 2000 dolárov ako zálohu na kúpu chladničky a zvyšok zaplatila svojou kreditnou kartou 18 mesiacov bez úrokov. Musí platiť 550 dolárov mesačne na vyrovnanie dlhu, ktorý získal na zaplatenie svojej chladničky.

do. Aká je cena chladničky?

b. Ak ste zvyšok zaplatili za 12 mesiacov bez úrokov, aká by bola mesačná splátka?

Riešenie

do. V tomto prípade:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Medzi číslami 2000 a 11900 musíme nájsť 11 aritmetických priemerov, pre ktoré:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Vzhľadom na postupnosť \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) nájdite nasledujúce 3 prvky a všeobecné vyjadrenie prvku \(n\).

Riešenie

Príslušná postupnosť nie je aritmetickou progresiou, pretože \(22 – 7 \ne 45 – 22\), ale môžeme vytvoriť sekvencia s rozdielmi dvoch po sebe idúcich prvkov a nasledujúca tabuľka ukazuje výsledky:

Prvky postupnosti \({b_n}\)	Sekvencia \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Tretí stĺpec vyššie uvedenej tabuľky nám hovorí, že postupnosť \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); je aritmetická postupnosť, ktorej rozdiel je \(d = 8\).

Ďalej napíšeme prvky postupnosti \({b_n}\) v zmysle postupnosti \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Vo všeobecnosti máte:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Pri aplikácii

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

S \({c_1} = 7\) a \(d = 8,\) dostaneme:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\vľavo( {7 + 4\vľavo( {n – 1} \vpravo)} \vpravo)\)

\({b_n} = n\vľavo( {4n + 3} \vpravo)\)

Použitím predchádzajúceho vzorca: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)