Definícia Bernoulliho princípu/rovnice

Bernoulliho princíp, často nazývaný aj Bernoulliho rovnica, je jedným z najdôležitejších pojmov v hydrodynamike a mechanike tekutín. Sformuloval ho švajčiarsky fyzik a matematik Daniel Bernoulli v roku 1738 ako súčasť svojej práce „hydrodynamika“ a súčasťou zachovania energie v ideálnej tekutine v pohybe.

Predstavme si nasledujúcu situáciu: Máme hadicu, cez ktorú preteká voda, ktorá opúšťa hadicu určitou rýchlosťou a určitým tlakom. Potom pristúpime k čiastočnému zakrytiu výstupného otvoru hadice prstom; takto vidíme, ako voda teraz vyteká väčšou rýchlosťou. Toto je príklad Bernoulliho princípu v praxi.

Ideálne tekutiny v pohybe

Bernoulliho princíp platí pre ideálne tekutiny v pohybe, takže predtým, ako pristúpime k vysvetleniu tohto princípu, je dôležité spomenúť, čo rozumieme pod pojmom ideálna tekutina. Ideálna tekutina je zjednodušením skutočnej tekutiny, robí sa to kvôli popisu tekutiny Ideál je matematicky jednoduchší a poskytuje nám užitočné výsledky, ktoré možno neskôr rozšíriť aj na tekutý prípad reálny.

Existujú štyri predpoklady, podľa ktorých sa tekutina považuje za ideálnu a všetky súvisia s prietokom:

• Ustálený tok: Ustálený tok je taký, pri ktorom je rýchlosť, ktorou sa tekutina pohybuje, rovnaká v akomkoľvek bode v priestore. Inými slovami, predpokladáme, že tekutina nepodlieha turbulencii.

• Nestlačiteľnosť: Tiež sa predpokladá, že ideálna tekutina je nestlačiteľná, to znamená, že má vždy konštantnú hustotu.

• Neviskozita: Viskozita je vlastnosť tekutín, ktorá vo všeobecnosti predstavuje odpor, ktorý tekutina bráni pohybu. Viskozitu možno považovať za analogickú s mechanickým trením.

• Irotačné prúdenie: S týmto predpokladom hovoríme o skutočnosti, že pohybujúca sa tekutina nevykonáva žiadny typ kruhového pohybu okolo žiadneho bodu svojej dráhy.

Vytvorením týchto predpokladov a ideálnou tekutinou výrazne zjednodušíme matematické spracovanie a zabezpečujeme aj šetrenie energie, čo je východiskom k princípu o Bernoulli.

Vysvetlená Bernoulliho rovnica

Uvažujme ideálnu tekutinu, ktorá sa pohybuje potrubím, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:

Teraz použijeme teorém práce a kinetickej energie, čo je ďalší spôsob vyjadrenia zákona zachovania energie, ktorý nám hovorí, že:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Kde \(W\) je celková mechanická práca a \({\rm{\Delta }}K\) je zmena kinetickej energie medzi dvoma bodmi. V tomto systéme máme dva typy mechanickej práce, jeden, ktorý sa vykonáva gravitačnou silou na tekutinu a druhý, ktorý je výsledkom tlaku tekutiny. Nech \({W_g}\) je mechanická práca vykonaná gravitáciou a \({W_p}\) je mechanická práca vykonaná tlakom, potom môžeme povedať, že:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Keďže gravitácia je konzervatívna sila, mechanická práca, ktorú vykoná, sa bude rovnať rozdielu gravitačnej potenciálnej energie medzi dvoma bodmi. Počiatočná výška, v ktorej sa tekutina nachádza, je \({y_1}\) a konečná výška je \({y_2}\), preto máme:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \vpravo )\)

Kde \({\rm{\Delta }}m\) je časť hmotnosti tekutiny, ktorá prejde určitým bodom a \(g\) je gravitačné zrýchlenie. Keďže ideálna tekutina je nestlačiteľná, potom \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Kde \(\rho \) je hustota tekutiny a \({\rm{\Delta }}V\) je časť objemu, ktorá preteká bodom. Dosadením do vyššie uvedenej rovnice dostaneme:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Uvažujme teraz o mechanickej práci vykonanej tlakom tekutiny. Tlak je sila pôsobiaca na jednotku plochy, to znamená \(F = PA\). Na druhej strane, mechanická práca je definovaná ako \(W = F{\rm{\Delta }}x\), kde \(F\) je použitá sila a \({\rm{\Delta }}x\) je posunutie uskutočnené v tomto prípade na osi x. V tomto kontexte môžeme uvažovať o \({\rm{\Delta }}x\) ako o dĺžke časti tekutiny, ktorá preteká určitým bodom. Spojením oboch rovníc dostaneme, že \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Môžeme si uvedomiť, že \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), to znamená, že je to časť objemu, ktorá preteká týmto bodom. Preto máme, že \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

V počiatočnom bode sa na systéme vykoná mechanická práca rovnajúca sa \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) a v koncovom bode systém vykoná mechanickú prácu na okolí rovnajúcu sa \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Mechanická práca spôsobená tlakom kvapaliny bude potom práca vykonaná na systéme mínus práca, ktorú vykoná na svojom okolí, to znamená, že:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

Nakoniec, rozdiel v kinetickej energii \({\rm{\Delta }}K\) sa bude rovnať kinetickej energii v koncovom bode mínus kinetická energia v počiatočnom bode. To je:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Z vyššie uvedeného vieme, že \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Vyššie uvedená rovnica potom vyzerá takto:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Nahradením všetkých výsledkov získaných v rovnici zachovania energie sa získa, že:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Člen \({\rm{\Delta }}V\) môžeme rozložiť na obe strany rovnice, čo vedie k:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \správny)\)

Pri vývoji chýbajúcich produktov musíme:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Preusporiadaním všetkých členov na oboch stranách rovnice dostaneme, že:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Táto rovnica je vzťah medzi počiatočným stavom a konečným stavom nášho systému. Nakoniec môžeme povedať, že:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konštanta\)

Táto posledná rovnica je Bernoulliho rovnica, z ktorej je odvodený jej princíp. Bernoulliho princíp je zákon zachovania ideálnej tekutiny v pohybe.

Referencie

David Halliday, Robert Resnick a Jearl Walker. (2011). Základy fyziky. Spojené štáty: John Wiley & Sons, Inc.