Kaj je Diracova enačba in kako je definirana?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) je konec leta 1928 predlagal eno od enačb z največjim pomenom in posledice v fiziki sedanje dobe, in to zato, ker združuje načela kvantne mehanike s tistimi iz relativnost.

Citat (APA)

Evelyn Maitee Marin | avg. 2022
Industrijski inženir, magister fizike in EdD

To enačbo je mogoče izraziti na več načinov, pri čemer je najbolj kompaktna in poenostavljena enačba, ki velja za eno najbolj estetskih enačb v znanosti:

\(\levo( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \desno) = 0\)

Kje:
i: imaginarna enota
m: masa mirovanja elektrona
ħ: Planckova reducirana konstanta
c: hitrost svetlobe
: operator seštevanja parcialnih odvodov
: matematična valovna funkcija elektrona

Absolutna vrednost kvadrata valovne funkcije predstavlja verjetnost najti delec v določenem položaju ob upoštevanju njegovega Energija, med drugimi parametri tudi hitrost evolucija v času. Z drugimi besedami, enačba Paula Diraca uporablja matrike, ki delujejo na vektorje, in predstavlja razvoj Schrödingerjeve enačbe v relativistični kvantni fiziki.

Diracova enačba je bila prvotno uporabljena za opis obnašanja elektrona brez interakcije, čeprav je njena uporabnost razširjena na opis subatomskih delcev, ko potujejo s hitrostjo blizu svetlobne hitrosti. Dirac je uspel na subatomski ravni razložiti dvojno obnašanje valov in delcev, ki je bilo že znano v tistem času, saj je upošteval lastnosti delcev, kot je vrtilna količina vrojeno ali zavrti.

Še en pomemben prispevek Diracove enačbe je napoved antimaterije, katere obstoj je pozneje (leta 1932) dokazal Carl D. Anderson z uporabo oblačne komore, s katero je identificiral pozitron. Prav tako v veliki meri pojasnjuje fino strukturo, prepoznano v atomskih spektralnih črtah.

Slika prikazuje znamenito fotografijo, posneto med konferenco "Fotoni in elektroni" leta 1927, na kateri so prikazani nekateri najbolj izjemni znanstveniki v zgodovini. V nebesnem obodu je Paul Dirac.

Ozadje Diracove enačbe

Da bi razumeli razmišljanja, ki jih je upošteval Dirac pri razvoju svoje enačbe, kot tudi temeljev, na katerih je temeljil njegov pristop, je pomembno poznati teorije pred njegovim model.

Prvič, tu je znamenita Schrödingerjeva enačba kvantne mehanike, objavljena leta 1925, ki pretvarja količine v kvantne operaterje. Ta enačba uporablja valovno funkcijo (), pri čemer za izhodišče vzame klasično enačbo energija E = p2/2m in vključuje kvantizacijska pravila za gibalno količino (p) in energijo (IN):

\(ih\frac{\delno }{{\delno t}}\levo( {r, t} \desno) = \levo[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\levo( {r, t} \desno)} \desno]\levo( {r, t} \desno)\)

Delni odvod /t izraža razvoj sistema glede na čas. Prvi izraz v oglatem oklepaju se nanaša na Kinetična energija (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), medtem ko se drugi člen nanaša na potencialna energija.

Opomba: v Einsteinovi teoriji relativnosti morata spremenljivki prostora in časa enakomerno sodelovati v enačb, kar pa ne velja za Schrödingerjevo enačbo, v kateri se čas pojavlja kot odvod, položaj pa kot druga izpeljanka.

Znanstveniki že stoletja poskušajo najti model fizike, ki združuje različne teorije, in v primeru Schrödingerjeva enačba upošteva maso (m) in naboj elektrona, vendar ne upošteva relativističnih učinkov, ki se kažejo pri visokih hitrosti. Zaradi tega sta leta 1926 znanstvenika Oskar Klein in Walter Gordon predlagala enačbo, ki upošteva načela relativnosti:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \desno)}^2}} \desno]\)

Težava s Klein-Gordonovo enačbo je, da temelji na Einsteinovi, v kateri je energija na kvadrat, zato ta (Klein-Gordonova) enačba vključuje kvadratni derivat glede na čas, kar pomeni, da ima dve rešitvi, kar dopušča negativne vrednosti časa, kar pa nima smisla fizično. Podobno ima neprijetnosti pri ustvarjanju vrednosti verjetnosti, manjših od nič, kot rešitev.

Paul Dirac je poskušal razrešiti nedoslednosti, ki jih nakazujejo negativne rešitve določenih velikosti, ki ne podpirajo teh rezultatov, izhajajoč iz Klein-Gordonove enačbe do jo lineariziral in v tem postopku uvedel dva parametra v obliki matrik dimenzije 4, znanih kot Diracove ali tudi Paulijeve matrike, ki sta predstavitev algebre vrtenje. Ti parametri so označeni kot  in ` (v energetski enačbi so predstavljeni kot E = pc + mc2):

S tem, kar je enakost izpolnjen, je pogoj ´2 = m2c4

Na splošno pravila kvantizacije vodijo do operacij z izpeljankami, ki veljajo za skalarne valovne funkcije, vendar kot parametra α in β sta matriki 4x4, diferencialni operaterji posegajo v štiridimenzionalni vektor (), znan kot spinor.

Diracova enačba rešuje problem negativne energije, ki ga predstavlja Klein-Gordonova enačba, vendar se še vedno pojavlja rešitev negativne energije; to so delci z lastnostmi, podobnimi tistim iz druge raztopine, vendar z nasprotnim nabojem, Dirac jih je imenoval antidelci. Poleg tega je z Diracovo enačbo prikazano, da je vrtenje rezultat uporabe relativističnih lastnosti v kvantnem svetu.