Kakšna je hierarhija operacij?

Hierarhija operacij je matematična konvencija, ki določa vrstni red, v katerem je treba izvajati kombinirana dejanja izračuna v isti matematični stavek, to je, ko obstaja matematični stavek, kjer so matematične operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, potence in koreni) skupaj, jih je treba izvesti v določenem vrstnem redu, da pridemo do rezultata običajni.

Toda zakaj je potrebna hierarhija? Da bi odgovorili nanj, moramo najprej dobro razumeti naravo matematičnih operacij, ki so sestavljene iz transformacije, ki se uporablja za elemente niza. Pomislimo na primer na množico realnih števil, torej tistih števil, ki jih vsi poznamo. Če vzamemo število a in ga seštejemo z drugim številom b, dobimo drugo število c, ki pripada isti množici realnih števil, to je:

a+b = c

Poleg tega vrstni red, v katerem so predstavljeni seštevalniki, ne vpliva na končni rezultat, tj a+b = b+a, se ta lastnost imenuje komutativnost. Pomembno je govoriti o seštevanju, ker je to osnovna operacija, iz katere izhajajo vse ostale. Množenje ni nič drugega kot niz ponavljajočih se seštevanj. Če spet imamo število a in ga pomnožimo s številom b, včasih seštejemo število b s samim seboj ali, alternativno, seštejemo b krat število a s samim seboj. Slednje velja, ker je množenje komutativno kot seštevanje, to pomeni, da:

a⋅b = b⋅a. Zgoraj omenjeno se lahko izrazi kot:

To lahko preprosto vizualiziramo s primerom. Naredimo množenje 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Kaj pa, če moramo izvesti operacijo, kjer smo združili seštevanje z množenjem? Na primer: a⋅b+c. V kakšnem vrstnem redu je treba izvesti seštevanje in množenje? Kateri operaciji moramo dati prednost? Če najprej izvedemo množenje in ga razvijemo kot vsoto, bi imeli:

Če bi najprej izvedli seštevanje in nato množenje, bi dobili:

Ker je seštevanje komutativno, lahko ponovno združimo desno stran enačbe, da dobimo:

Če primerjamo rezultate, dobljene v obeh situacijah, je enostavno ugotoviti, da:

Sklepamo torej, da vrstni red, v katerem se odločimo za izvedbo operacij, vpliva na dobljeni rezultat. Enako se zgodi, ko vključimo moči. Ko dvignemo število b na potenco c, pomnožimo c-krat število b s samim seboj, to je:

Zdaj nadaljujemo z izvajanjem naslednje kombinirane operacije, ki vključuje množenje in potenco a⋅b^c v drugačnem vrstnem redu kot v prejšnjem primeru. Če najprej damo prednost moči, imamo:

Zdaj, če najprej izvedemo množenje in nato potenco, bi imeli:

Če izkoristimo komutativnost množenja, lahko desno stran enačbe ponovno združimo kot:

Spet lahko primerjamo rezultate, dobljene z izvajanjem operacij v drugačnem vrstnem redu, da ugotovimo, da:

Tudi v tem primeru vrstni red, v katerem se izvajajo operacije, vpliva na dobljeni rezultat. Torej, kakšen je vrstni red, v katerem je treba izvesti operacije? Hierarhija operacij določa, da so potence na višji ravni hierarhije kot množenja, tako da imajo potence prednost v matematičnem stavku. Po drugi strani pa imajo množenja višjo hierarhično raven kot seštevanja.

Kaj pa odštevanje, deljenje in koreni? Odštevanje je nasprotna operacija seštevanja, ko od števila a odštejemo število b, dobimo drugo število c, tako da je c+b=a. Nekaj ​​podobnega se zgodi pri deljenju in odštevanju. Če število a delimo s številom b in dobimo kot rezultat število c, smo našli takšno število, da je b⋅c=a. In končno, z izračunom korena b števila a najdemo število c tako, da c^b=a. Te enakovrednosti postavljajo odštevanje, deljenje in koren na isto raven hierarhije kot seštevanje, množenje in potenco.

Vaje o oklepajih in oklepajih

Kaj se zgodi, če želimo dati prednost nekaterim operacijam v matematičnem stavku ne glede na njihovo hierarhično raven? Za to se uporabljajo oklepaji in oglati oklepaji. Recimo, da imamo izjavo načela a⋅b+c. S tem, kar smo povedali prej, že vemo, da moramo najprej izvesti množenje in nato seštevanje. Toda kaj, če bi želeli, da temu ni tako? Da bi to naredili, bi morali uporabiti oklepaje ali oglate oklepaje, da ločimo seštevanje od množenja in tako dati prednost prvemu izračunu seštevanja, to je: a⋅(b+c). To povzroči, da imajo izjave, ločene z oklepaji in oglatimi oklepaji, najvišjo prednost pred vsemi drugimi operacijami.

Ob vsem povedanem je hierarhija operacij oziroma vrstni red, v katerem jih je treba izvajati, sledeča:

1) Oklepaji in oklepaji
2) Moči in korenine
3) Množenje in deljenje
4) Seštevanje in odštevanje

Reference

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Osnove matematike: I. zvezek. Cambridge, Massachusetts in London: The MIT Press.