Definicija geometrijske progresije

Zaporedje števil \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Geometrična progresija se imenuje, če je od drugega vsak element dobljen z množenjem prejšnjega s številom \(r\ne 0\), to je, če:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Kje:
- Število \(r\) imenujemo razmerje geometrijske progresije.
- Element \({{a}_{1}}\) se imenuje prvi element aritmetične progresije.

Elemente geometrijske progresije lahko izrazimo s prvim elementom in njegovim razmerjem, to je:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

So prvi štirje elementi aritmetične progresije; na splošno je \(k-\)th element izražen kot sledi:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Ko \({{a}_{1}}\ne 0,~\) prejšnjega izraza dobimo:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Zgornji izraz je enakovreden:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Primer/vaja 1. Poiščite razliko aritmetične progresije: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​in poiščite elemente \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

rešitev

Ker je \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), lahko sklepamo, da je razmerje:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\levo( {{3}^{20-1}} \desno)=2{{\levo( 3 \desno)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\levo( {{3}^{91-1}} \desno)=2{{\levo( 3 \desno)}^{90}}\)

Primer/vaja 2. V aritmetični progresiji imamo: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), določimo razmerje geometrijske progresije in zapišemo prvih 5 elementov.

rešitev

Nošenje

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Poiskati prvih 5 elementov aritmetične progresije; izračunali bomo \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \desno)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \desno)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Prvih 5 elementov geometrijske progresije je:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\levo( -4 \desno),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \desno)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Primer/vaja 3. Tanko steklo absorbira 2 % sončne svetlobe, ki gre skozenj.

do. Kolikšen odstotek svetlobe bo prešel skozi 10 teh tankih stekel?

b. Kolikšen odstotek svetlobe bo prešel skozi 20 teh tankih stekel?

c. Določite odstotek svetlobe, ki preide skozi \(n\) tankih stekel z enakimi lastnostmi, ki so postavljena zaporedoma.

rešitev

Z 1 bomo predstavljali celotno svetlobo; z absorbcijo 2% svetlobe, potem gre 98% svetlobe skozi steklo.

Z \({{a}_{n}}\) bomo predstavili odstotek svetlobe, ki prehaja skozi steklo \(n\).

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\levo( 0,98 \desno),~{{a}_{3}}={{\levo( 0,98 \desno)}^{2}}\levo( 0,98 \desno),\)

Na splošno \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \desno)}^{n}}\)

do. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \desno)}^{10}}=0,81707\); kar nam pove, da po steklu 10 prehaja 81,707 % svetlobe

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \desno)}^{20}}=~0,66761\); kar nam pove, da po steklu 20 preide 66,761 %

Vsota prvih \(n\) elementov geometrijske progresije

Glede na geometrijsko progresijo \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Ko je \(r\ne 1\) vsota prvih \(n\) elementov, je vsota:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Lahko se izračuna z

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\levo( 1-{{r}^{n}} \desno)}{1-r},~r \n1\)

Primer/vaja 4. Iz primera 2 izračunajte \({{S}_{33}}\).

rešitev

V tem primeru \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) in \(r=-4\)

prijava

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\levo( 1-{{r}^{n}} \desno)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \desno)}^{22}}} {1-\levo( -4 \desno)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \desno)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \desno)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \desno)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Primer/vaja 5. Recimo, da oseba naloži fotografijo svojega hišnega ljubljenčka in jo deli s tremi svojimi prijatelji na internetnem družbenem omrežju in v eni uri vsak jih deli fotografijo s tremi drugimi osebami, nato pa slednji čez eno uro vsak od njih deli fotografijo s tremi drugimi ljudje; In tako gre naprej; vsaka oseba, ki prejme fotografijo, jo deli s tremi drugimi osebami v eni uri. V 15 urah, koliko ljudi že ima fotografijo?

rešitev

Naslednja tabela prikazuje prve izračune
Čas Ljudje, ki prejmejo fotografijo Ljudje, ki imajo fotografijo
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Število ljudi, ki prejmejo fotografijo v uri \(n\), je enako: \({{3}^{n}}\)

Število ljudi, ki že imajo fotografijo v eni uri, je enako:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\lpike +{{3}^{n}}\)

prijava

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\levo( 1-{{r}^{n}} \desno)}{1-r}\)

Z \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) in \(n=15\)

pri čemer:

\({{S}_{n}}=\frac{\levo( 1-{{3}^{15}} \desno)}{1-3}=7174453\)

geometrijska sredstva

Dani sta dve števili \(a~\) in \(b,\) števili \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) se imenujejo \(k\) geometrične sredine števil \(a~\) in \(b\); če je zaporedje \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) geometrijska progresija.

Če želite poznati vrednosti \(k\) geometrijskih sredin števil \(a~\) in \(b\), je dovolj poznati razmerje aritmetične progresije, za to je treba upoštevati naslednje:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Iz zgoraj navedenega ugotovimo razmerje:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Če rešimo \(d\), dobimo:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Primer/vaja 6. Poiščite 2 geometrijski sredini med številkama -15 in 1875.

rešitev

Pri prijavi

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

z \(b=375,~a=-15\) in \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 geometrijske sredine so:

\(75,-375\)

Primer/vaja 7. Oseba je vlagala denar in prejemala obresti vsak mesec 6 mesecev in njen kapital se je povečal za 10%. Kakšna je bila mesečna obrestna mera ob predpostavki, da se obrestna mera ni spremenila?

rešitev

Naj bo \(C\) vloženi kapital; končni kapital je \(1,1C\); Za rešitev problema moramo postaviti 5 geometrijskih sredin z uporabo formule:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Z \(k=5,~b=1,1C\) in \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1,1C}{C}}=\sqrt[6]{1,1}=1,016\)

Prejeta mesečna stopnja je bila \(1,6%\)