Opredelitev aritmetičnega napredovanja

Zaporedje števil \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​se imenuje aritmetična progresija, če je razlika med dvema zaporednima številoma enaka istemu številu \(d\), to je ja:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Število \(d\) imenujemo razlika aritmetične progresije.

Element \({a_1}\) se imenuje prvi element aritmetičnega zaporedja.

Elemente aritmetične progresije lahko izrazimo s prvim elementom in njegovo razliko, to je:

\({a_1},{a_1} + d, {a_1} + 2d, {a_1} + 3d\)

So prvi štirje elementi aritmetične progresije; Na splošno je \(k – \)th element izražen kot sledi:

\({a_k} = {a_1} + \levo( {k – 1} \desno) d\)

Iz zgornjega izraza dobimo:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \desno) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \desno) d} \desno )\)

\({a_k} – {a_l} = \levo( {k – l} \desno) d\)

Zgornji izraz je enakovreden:

\({a_k} = {a_l} + \levo( {k – l} \desno) d\)

Primeri, uporabljeni za aritmetično progresijo

1. Poiščite razliko aritmetične progresije: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​in poiščite elemente \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

rešitev

Ker je \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), lahko sklepamo, da je razlika:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \levo( {20 – 1} \desno) d = 3 + 19\levo( 5 \desno) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \levo( {99 – 1} \desno) d = 3 + 98\levo( 5 \desno) = 493\)

2. V aritmetični progresiji imamo: \({a_{17}} = 20\;\)in \({a_{29}} = – 130\), določi razliko aritmetične progresije in zapiši prvih 5 elementov.

rešitev

Nošenje

\({a_k} – {a_l} = \levo( {k – l} \desno) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \levo( {29 – 17} \desno) d\)

\( – 130 – 20 = \levo( {12} \desno) d\)

\( – 150 = \levo( {12} \desno) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{{25}}{2}\)

Najti prvih 5 elementov; izračunali bomo \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \levo( {k – 1} \desno) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \levo( {17 – 1} \desno)\levo( { – \frac{{25}}{2}} \desno)\)

\(20 = {a_1} + \levo( {16} \desno)\levo( { – \frac{{25}}{2}} \desno)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Prvih 5 elementov je:

\(220,220 + \levo( { – \frac{{25}}{2}} \desno),220 + 2\levo( { – \frac{{25}}{2}} \desno),220 + 3 \levo( { – \frac{{25}}{2}} \desno),220 + 4\levo( { – \frac{{25}}{2}} \desno)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Poligonalna števila in vsota prvih \(n\) elementov aritmetičnega napredovanja

trikotne številke

Trikotna števila \({T_n}\;\) so oblikovana iz aritmetičnega napredovanja: \(1,2,3,4 \lpike \); na naslednji način.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

kvadratne številke

Kvadratna števila \({C_n}\;\) so oblikovana iz aritmetičnega napredovanja: \(1,3,5,7 \lpike \); kot sledi

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

peterokotna števila

Kvadratna števila \({P_n}\;\) so oblikovana iz aritmetičnega napredovanja: \(1,3,5,7 \lpike \); kot sledi

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Nato bomo pokazali formulo za iskanje vsote prvih \(n\) elementov aritmetičnega napredovanja.

Glede na aritmetično progresijo \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \desno) d\). Za izračun vsote \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) lahko uporabite formulo:

\({S_n} = \frac{{n\levo( {{a_1} + {a_n}} \desno)}}{2}\)

kar je enakovredno

\({S_n} = \frac{{n\levo( {2{a_1} + \levo( {n – 1} \desno) d} \desno)}}{2}\)

Z uporabo prejšnje formule dobimo formule za izračun trikotnih, kvadratnih in peterokotnih števil; ki so prikazani v naslednji tabeli.

mnogokotno število	\({a_1}\)	\(d\)	Formula
Trikotni \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\levo( {n + 1} \desno)}}{2}\)
Kvadrat \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Peterokotna \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\levo( {3n – 1} \desno)}}{2}\)

Primer poligonalnih števil

3. Iz primera 2 izračunajte \({S_{33}}\).

rešitev

V tem primeru \({a_1} = 200\) in \(d = – \frac{{25}}{2}\)

prijava

\({S_n} = \frac{{n\levo( {2{a_1} + \levo( {n – 1} \desno) d} \desno)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\levo( {2\levo( {200} \desno) + \levo( {33 – 1} \desno)\levo( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\levo( {400 + 16\levo( { – 25} \desno)} \desno) = 17\levo( 0 \desno) = 0\)

aritmetične sredine

Glede na dve števili \(a\;\) in \(b,\) se imenujejo števila \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) \(k\) pomeni aritmetična števila \(a\;\) in \(b\); če je zaporedje \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) aritmetična progresija.

Če želite poznati vrednosti \(k\) aritmetičnih sredin števil \(a\;\) in \(b\), je dovolj poznati razliko aritmetične progresije, za to mora biti naslednje upoštevano:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Iz zgoraj navedenega ugotovimo razmerje:

\(b = a + \levo( {k + 2 – 1} \desno) d\)

Če rešimo \(d\), dobimo:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

primeri

4. Poiščite 7 aritmetičnih sredin med številkama -5 in 25.

rešitev

Pri prijavi

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

z \(b = 25,\;a = – 5\) in \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \desno)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 aritmetičnih sredin je:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{{85}}{4}\)

9. Ena oseba je dala 2000 $ kot polog za nakup hladilnika, preostanek pa plačala s svojo kreditno kartico 18 mesecev brez obresti. Plačati mora 550 dolarjev na mesec za poravnavo dolga, ki ga je pridobil za plačilo svojega hladilnika.

do. Kakšna je cena hladilnika?

b. Če ste preostanek plačali v 12 mesecih brez obresti, koliko bi znašalo mesečno plačilo?

rešitev

do. V tem primeru:

\({a_{19}} = 2000 + 18\levo( {550} \desno)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Med številkama 2000 in 11900 moramo najti 11 aritmetičnih sredin, za katere:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Glede na zaporedje \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) poiščite naslednje 3 elemente in splošni izraz elementa \(n\).

rešitev

Zadevno zaporedje ni aritmetična progresija, saj je \(22 – 7 \ne 45 – 22\), lahko pa oblikujemo zaporedje z razlikami dveh zaporednih elementov in naslednja tabela prikazuje rezultati:

Elementi zaporedja \({b_n}\)	Zaporedje \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Tretji stolpec zgornje tabele nam pove, da zaporedje \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); je aritmetično zaporedje, katerega razlika je \(d = 8\).

Nato bomo zapisali elemente zaporedja \({b_n}\) v smislu zaporedja \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Na splošno imate:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \lpike + {c_n}\;\)

Pri prijavi

\({S_n} = \frac{{n\levo( {2{c_1} + \levo( {n – 1} \desno) d} \desno)}}{2}\)

Z \({c_1} = 7\) in \(d = 8,\) dobimo:

\({b_n} = \frac{{n\levo( {14 + \levo( {n – 1} \desno) 8} \desno)}}{2}\)

\({b_n} = n\levo( {7 + 4\levo( {n – 1} \desno)} \desno)\)

\({b_n} = n\levo( {4n + 3} \desno)\)

Z uporabo prejšnje formule: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)