Definicija racionalizacije radikalov (matematika)

Racionalizacija radikalov je matematični postopek, ki se izvede, ko je v imenovalcu količnik z radikali ali koreni. Na ta način je mogoče olajšati matematične operacije, kjer so vključeni količniki z radikali in druge vrste matematičnih objektov.

Vrste količnikov z radikali

Pomembno je omeniti nekatere vrste količnikov z radikali, ki jih je mogoče racionalizirati. Preden pa se v celoti lotimo procesa racionalizacije, si je treba zapomniti nekaj pomembnih konceptov. Najprej predpostavimo, da imamo naslednji izraz: \(\sqrt[m]{n}\). To je koren \(m\) števila \(n\), kar pomeni, da je rezultat omenjene operacije takšno število, da nam povišanje na potenco \(m\) da število \(n\) kot rezultat). Potenca in koren sta inverzni operaciji, tako da: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Po drugi strani pa velja omeniti, da je produkt dveh enakih korenov enak korenu produkta, kar pomeni, da: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Ti dve lastnosti bosta naši najboljši zaveznici pri racionalizaciji.

Najpogostejši in najpreprostejši tip kvocienta z radikalom, ki ga lahko najdemo, je naslednji:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Pri čemer so lahko \(a\), \(b\) in \(c\) poljubna realna števila. Postopek racionalizacije v tem primeru je sestavljen iz iskanja načina, kako v količniku dobiti izraz \(\sqrt {{c^2}} = c\), da se znebimo radikala. V tem primeru je dovolj, da pomnožite z \(\sqrt c \) tako števec kot imenovalec:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Če se spomnimo zgoraj omenjenega, vemo, da \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Zato končno dobimo, da:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Na ta način smo racionalizirali prejšnji izraz. Ta izraz ni nič drugega kot poseben primer splošnega izraza, ki je naslednji:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Kjer so \(a\), \(b\), \(c\) poljubna realna števila in \(n\), \(m\) pozitivne potence. Racionalizacija tega izraza temelji na enakem principu kot prejšnji, to je, da dobimo izraz \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) v imenovalcu. To lahko dosežemo tako, da pomnožimo z \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) števec in imenovalec:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Produkt radikalov v imenovalcu lahko razvijemo na naslednji način: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \levo( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Zato racionaliziran količnik ostane kot:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Druga vrsta količnika z radikali, ki ga je mogoče racionalizirati, je tista, v kateri imamo binom s kvadratnimi koreni v imenovalcu:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Kjer so \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) in \(e\;\) poljubna realna števila. Simbol \( ± \) označuje, da je predznak lahko pozitiven ali negativen. Binom imenovalca ima lahko oba korena ali samo enega, vendar ta primer uporabimo za pridobitev bolj splošnega rezultata. Osrednja ideja za izvedbo procesa racionalizacije je v tem primeru enaka kot v prejšnjih primerih, le da v tem primeru bomo tako števec kot imenovalec pomnožili s konjugatom binoma, ki ga najdemo v imenovalec. Konjugat binoma je binom, ki ima enake člene, vendar je njegov osrednji simbol nasproten prvotnemu binomu. Na primer, konjugat binoma \(ux + vy\) je \(ux – vy\). Kot rečeno, imamo potem:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \desno)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \desno)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Simbol \( \mp \) označuje, da je predznak lahko pozitiven ali negativen, vendar mora biti nasproten simbolu imenovalca, da so binomi konjugirani. Z razvojem množenja binomov imenovalca dobimo, da:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \desno)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Končno dobimo tole:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\levo( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \desno)\)

S tem smo kvocient racionalizirali z radikalom. Ti količniki z radikali so tisti, ki jih je na splošno mogoče racionalizirati. Nato bomo videli nekaj primerov racionalizacije radikalov.

primeri

Oglejmo si nekaj primerov racionalizacije s količniki z radikali zgoraj omenjenega tipa. Najprej predpostavimo, da imamo naslednji količnik:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

V tem primeru je dovolj, da števec in imenovalec pomnožimo z \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Zdaj pa predpostavimo, da imamo naslednji količnik z radikalom:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

V tem primeru imamo šesti koren kubične potence. V prejšnjem razdelku smo omenili, da če imamo radikal v obliki \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) v imenovalec, lahko količnik racionaliziramo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Če to primerjamo s tukaj predstavljenim primerom, lahko ugotovimo, da \(n = 6\), \(c = 4\) in \(m = 3\), torej Zato lahko prejšnji količnik racionaliziramo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Na koncu predpostavimo, da imamo naslednjo funkcijo:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Kot je prikazano v prejšnjem razdelku, morate za racionalizacijo te vrste kvocienta z radikali pomnožiti števec in imenovalec s konjugatom imenovalca. V tem primeru bi bil konjugat imenovalca \(x – \sqrt x \). Zato bi bil izraz naslednji:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \desno)\levo( {x – \sqrt x } \desno)}}\levo( {x – \sqrt x } \desno)\)

Z razvojem množenja konjugiranih binomov imenovalca končno dobimo, da:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Reference

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel in Reyes Ricardo. (2009). Aritmetika. Mehika: Pearson Education.