Primer polnega prostora

Matematična analiza je veja matematičnih ved, ki se ukvarja s preučevanjem poln prostor, ki je vrsta metričnega prostora.

Metrični prostor je sestavljen iz parov točk in funkcije razdalje med njimi; v teh prostorih je mogoče definirati Cauchyjevo zaporedje, ki ga tvorijo vedno manjše razdalje med tema dvema točkama. Ko v metričnem prostoru ni več mogoče najti manjše razdalje v zaporedju, imamo a poln prostor. Zaprti številski nizi, torej tisti, pri katerih obstaja omejitev, so popolni presledki.

Primer celotnega prostora:

Nabor naravnih števil, vključno z 0, je celoten prostor, saj je ta niz zaprt do konca 0. Predstavitev tega nabora števil je N= [0, 1, 2,... n}.

Vzemimo kateri koli dve točki med dvema elementoma tega sklopa, na primer 4 in 8, predstavljeni na naslednji način p = (4, 8), funkcija razdalje med dvema točkama je enaka 4, zaporedje Cauchyja je podano z zaporedjem {4, 3, 2, 1, 0}, ki se konvergira na 0.

Drug primer je množica pozitivnih realnih števil, oblikovana z {0}, ki je predstavljena kot

IN⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, saj bosta dve točki v tem prostoru zaporedje Cauchyja konvergirali, ko je razdalja 0

Nabor racionalnih števil ni popoln presledek, saj razdalja 0 (število 0 kot število ne obstaja v tem naboru), zaradi česar se Cauchyjevo zaporedje v nobeni točki tega ne zbliža nastavite.

Vsak zaprt interval naravnih števil je popoln prostor.