Шта су Максвелове једначине и како су дефинисане?

Ангел Замора Рамирез | јул. 2022
Диплома из физике

Пре ових једначина, говорило се да су електричне и магнетне силе „силе на даљину“, није било познато физичко средство помоћу којег би дошло до ове врсте интеракције. После много година истраживања на електрична енергија И магнетизам, Мајкл Фарадеј је интуитирао да би морало да постоји нешто физичко у простору између наелектрисања и електричних струја што би им омогућило да међусобно комуницирају и манифестују све електричне и магнетне појаве које су биле познате, он их је прво назвао „линијама силе“, што је довело до идеје о постојању електромагнетног поља.

Надовезујући се на Фарадејеву идеју, Џејмс Клерк Максвел развија теорију поља представљену са четири парцијалне диференцијалне једначине. Максвел је ово назвао "електромагнетном теоријом" и био је први који је ову врсту математичког језика уградио у физичку теорију. Максвелове једначине у њиховом диференцијалном облику за вакуум (то јест, у одсуству диелектричних и/или поларизабилних материјала) су следеће:

\(\набла \цдот \вец{Е}=\фрац{\рхо }{{{\епсилон }_{0}}}\)
\(\набла \тимес \вец{Е}=-\фрац{\партиал \вец{Б}}{\партиал т}\)
\(\набла \цдот \вец{Б}=0\)
\(\набла \тимес \вец{Б}={{\му }_{0}}\вец{Ј}+{{\му }_{0}}{{\епсилон }_{0}}\фрац {\партиал \вец{Е}}{\партиал т}\)
Максвелове једначине за вакуум у његовом диференцијалном облику

Где је \(\вец{Е}~\) електрично поље, \(\вец{Б}~\) је магнетно поље, \(\рхо ~\) је густина наелектрисање, \(\вец{Ј}~~\)је вектор придружен а електрична струја, \({{\епсилон }_{0}}~\)је електрична пермитивност вакуума и \({{\му }_{0}}~~\)је магнетна пермеабилност вакуума. Свака од ових једначина одговара а закон електромагнетизма и има значење. У наставку ћу укратко објаснити сваки од њих.

Гаусов закон

\(\набла \цдот \вец{Е}=\фрац{\рхо }{{{\епсилон }_{0}}}\)
Гаусов закон за електрично поље

Оно што нам ова прва једначина говори јесте да су електрични набоји извори електричног поља, ово електрично поље „дивергира“ директно од наелектрисања. Штавише, смер електричног поља диктира знак електричног набоја који га производи, а колико су блиске линије поља указује на величину самог поља. Слика испод донекле сумира оно што је управо поменуто.

Илустрација 1. Из Студиоворк-а.- Дијаграм електричних поља генерисаних са два тачкаста наелектрисања, једним позитивним и једним негативним.

Овај закон дугује своје име математичару Јохану Карлу Фридриху Гаусу који га је формулисао на основу своје теореме дивергенције.

Гаусов закон за магнетно поље

\(\набла \цдот \вец{Б}=0\)

Гаусов закон за магнетно поље

Овај закон нема одређени назив, али се тако зове због сличности са претходном једначином. Значење овог израза је да не постоји „магнетно наелектрисање“ аналогно „електричном наелектрисању“, односно нема магнетних монопола који су извор магнетног поља. То је разлог зашто ако разбијемо магнет на пола, и даље ћемо имати два слична магнета, оба са северним и јужним полом.

Фарадејев закон

\(\набла \тимес \вец{Е}=-\фрац{\партиал \вец{Б}}{\партиал т}\)
Фарадејев закон индукције

Ово је чувени закон индукције који је формулисао Фарадеј када је 1831. открио да су променљива магнетна поља способна да индукују електричне струје. Оно што ова једначина значи је да је магнетно поље које се мења током времена способно да индукује око њега електрично поље, које заузврат може изазвати кретање електричних наелектрисања и стварање а поток. Иако ово у почетку може звучати веома апстрактно, Фарадејев закон стоји иза рада мотора, електричних гитара и индукционих плоча за кување.

Ампер-Максвелов закон

\(\набла \тимес \вец{Б}={{\му }_{0}}\вец{Ј}+{{\му }_{0}}{{\епсилон }_{0}}\фрац {\партиал \вец{Е}}{\партиал т}\)

Прва ствар коју нам ова једначина говори је да електричне струје генеришу магнетна поља око смера струје и да величина генерисаног магнетног поља зависи од величине овога, то је Ерстед приметио и да је касније Ампер могао да формулисати. Међутим, иза ове једначине се крије нешто занимљиво, а то је тај други члан са стране закон једначине је увео Максвел јер је овај израз првобитно био недоследан код осталих је посебно довела до кршења закона одржања електричног наелектрисања. Да би то избегао, Максвел је једноставно увео овај други термин како би цела његова теорија била конзистентна, овај термин добио назив "струја померања" и у то време није било експерименталних доказа који би то поткрепили. направиће резервну копију

Илустрација 2. Де Румруаи.- Електрична струја која тече кроз кабл ствара магнетно поље око њега према Амперовом закону.

Значење струје померања је то, на исти начин као и магнетно поље променљива индукује електрично поље, електрично поље које се мења током времена је способно да генерише поље магнетна. Прва експериментална потврда струје померања била је демонстрација постојања електромагнетне таласе Хајнриха Херца 1887. године, више од 20 година након објављивања теорије о Маквелл. Међутим, прво директно мерење струје померања извршио је М. Р. Ван Каувенберге 1929. године.

светлост је електромагнетни талас

Једно од првих запањујућих предвиђања Максвелових једначина је постојање електромагнетних таласа, али не само то, они су такође открили да светлост мора бити талас овога Тип. Да бисмо ово донекле видели, играћемо се са Максвеловим једначинама, али пре тога, ево облика било које таласне једначине:

\({{\набла }^{2}}у=\фрац{1}{{{в}^{2}}}\фрац{{{\партиал }^{2}}у}{\партиал {{ т}^{2}}}\)
Општи облик таласне једначине у три димензије.

Где је \({{\набла }^{2}}\) Лапласов оператор, \(у\) је таласна функција, а \(в\) је брзина таласа. Радићемо и са Максвеловим једначинама у празном простору, односно у одсуству електричних набоја и електричних струја, само електрична и магнетна поља:

\(\набла \цдот \вец{Е}=0\)

\(\набла \тимес \вец{Е}=-\фрац{\партиал \вец{Б}}{\партиал т}\)

\(\набла \цдот \вец{Б}=0\)

\(\набла \тимес \вец{Б}={{\му }_{0}}{{\епсилон }_{0}}\фрац{\партиал \вец{Е}}{\партиал т}\)

И такође ћемо користити следеће идентитет векторски рачун:

\(\набла \тимес \лефт( \набла \тимес \вец{А} \ригхт)=\набла \лефт( \набла \цдот \вец{А} \ригхт)-{{\набла }^{2}} \тиме{А}\)

Ако применимо овај идентитет на електрична и магнетна поља користећи Максвелове једначине за празан простор изнад, добићемо следеће резултате:

\({{\набла }^{2}}\вец{Е}={{\му }_{0}}{{\епсилон }_{0}}\фрац{{{\партиал }^{2} }\вец{Е}}{\партиал {{т}^{2}}}\)

\({{\набла }^{2}}\вец{Б}={{\му }_{0}}{{\епсилон }_{0}}\фрац{{{\партиал }^{2} }\вец{Б}}{\партиал {{т}^{2}}}\)

Обратите пажњу на сличност ових једначина са таласном једначином изнад, у закључак, електрична и магнетна поља могу да се понашају као таласи (електромагнетни таласи). Ако дефинишемо брзину ових таласа као \(ц\) и упоредимо ове једначине са горњом таласном једначином, можемо рећи да је брзина:

\(ц=\фрац{1}{\скрт{{{\му }_{0}}{{\епсилон }_{0}}}}\)

\({{\му }_{0}}\) и \({{\епсилон }_{0}}\) су магнетна пермеабилност и електрична пермитивност вакуума, респективно, и обе су константе универзалије чије су вредности \({{\му }_{0}}=4\пи \пута {{10}^{-7}}~~Т\цдот м/А\) и \({{\ епсилон } 0}}=8,8542\пута {{10}^{-12}}~{{Ц}^{2}}/Н\цдот м~\), заменом ових вредности, имамо да је вредност \(ц\) \(ц=299,792,458\фрац{м}{с}\приближно 300,000~км/с\) што је тачно брзина светлости.

Овом малом анализом можемо доћи до три веома важна закључка:

1) Електрична и магнетна поља могу се понашати као таласи, односно постоје електромагнетни таласи који су такође способни да се шире кроз вакуум.

2) Светлост је електромагнетни талас чија брзина зависи од магнетне пермеабилности и пермитивности средине кроз коју се шири, у празном простору светлост има брзину приближно 300.000 км/с.

3) Пошто су магнетна пермеабилност и електрична пермитивност универзалне константе, онда брзина светлости је такође универзална константа, али то такође имплицира да њена вредност не зависи оф оквир од којих се мери.

Ова последња изјава је у то време била веома контроверзна.Како је могуће да брзина од светлост је иста без обзира на кретање особе која је мери и кретање извора светлости. светлост? Брзина нечега мора бити релативна, зар не? Па, ово је била прекретница за физику тог времена и ова једноставна, али дубока чињеница довела је до развоја Теорије специјалне релативности од стране Алберта Ајнштајна 1905. године.