Дефиниција геометријске прогресије

Низ бројева \({{а}_{1}},~{{а}_{2}},{{а}_{3}},\лдотс \); Зове се геометријска прогресија ако се, почевши од другог, сваки елемент добије множењем претходног бројем \(р\не 0\), односно ако:
\({{а}_{н+1}}={{а}_{н}}р\)
Где:
- Број \(р\) се назива однос геометријске прогресије.
- Елемент \({{а}_{1}}\) се назива први елемент аритметичке прогресије.

Елементи геометријске прогресије могу се изразити кроз први елемент и његов однос, односно:
\({{а}_{1}},{{а}_{1}}р,{{а}_{1}}{{р}^{2}},{{а}_{1} {{р}^{3}}\)

Они су прва четири елемента аритметичке прогресије; генерално, \(к-\)-ти елемент се изражава на следећи начин:
\({{а}_{к}}={{а}_{1}}{{р}^{к-1}}\)

Када је \({{а}_{1}}\не 0,~\) претходног израза добијамо:

\(\фрац{{{а}_{к}}}{{{а}_{л}}}=\фрац{{{а}_{1}}{{р}^{к-1}} }{{а}_{1}}{{р}^{л-1}}}\)

\(\фрац{{{а}_{к}}}{{{а}_{л}}}={{р}^{к-л}}\)

Горњи израз је еквивалентан:

\({{а}_{к}}={{а}_{л}}{{р}^{к-л}}\)

Пример/вежба 1. Пронађите разлику аритметичке прогресије: \(2,6,18,54,\лдотс \) и пронађите елементе \({{а}_{20}},~{{а}_{91}} \)

Решење

Пошто је \(\фрац{6}{2}=\фрац{18}{6}=\фрац{54}{18}=3\) можемо закључити да је однос:

\(р=3\)

\({{а}_{20}}=2\лефт( {{3}^{20-1}} \ригхт)=2{{\лефт( 3 \ригхт)}^{19}}\)

\({{а}_{91}}=2\лефт( {{3}^{91-1}} \ригхт)=2{{\лефт( 3 \ригхт)}^{90}}\)

Пример/вежба 2. У аритметичкој прогресији имамо: \({{а}_{17}}=20~\)и \({{а}_{20}}=-1280\), одредимо однос геометријске прогресије и напишимо првих 5 елемената.

Решење

Ношење

\(\фрац{{{а}_{к}}}{{{а}_{л}}}={{р}^{к-л}}\)

\(\фрац{{{и}_{20}}{{{и}_{17}}={{р}^{20-17}}\)

\(\фрац{-1280}{20}={{р}^{3}}\)

\(-64={{р}^{3}}\)

\(\скрт[3]{-64}=\скрт[3]{{{р}^{3}}}\)

\(-4=р\)

Да пронађе првих 5 елемената аритметичке прогресије; израчунаћемо \({{а}_{1}}\):

\({{а}_{к}}={{а}_{1}}{{р}^{к-1}}\)

\({{а}_{17}}={{а}_{1}}{{\лефт(р \ригхт)}^{17-1}}\)

\(20={{а}_{1}}{{\лефт( -4 \ригхт)}^{16}}\)

\(\фрац{20}{{{4}^{16}}={{а}_{1}}\)

\(\фрац{5\лефт( 4 \ригхт)}{{{4}^{16}}}={{а}_{1}}\)

\(\фрац{5}{{{4}^{15}}={{а}_{1}}\)

Првих 5 елемената геометријске прогресије су:

\(\фрац{5}{{{4}^{15}}},~\фрац{5}{{{4}^{15}}}\лефт( -4 \ригхт),\фрац{5} {{{4}^{15}}}{{\лефт( -4 \ригхт)}^{2}},\фрац{5}{{{4}^{15}}}{{\лефт( -4 \ригхт)}^{3}},\фрац{5}{{ {4}^{15}}}{{\лево( -4 \десно)}^{4}}\)

\(\фрац{5}{{{4}^{15}}},-~\фрац{5}{{{4}^{14}}},\фрац{5}{{{4}^{ 13}}},-\фрац{5}{{{4}^{12}}},\фрац{5}{{{4}^{11}}}\)

Пример/вежба 3. Танко стакло апсорбује 2% сунчеве светлости која пролази кроз њега.

до. Колики проценат светлости ће проћи кроз 10 тих танких стакла?

б. Колики проценат светлости ће проћи кроз 20 тих танких стакла?

ц. Одредити проценат светлости који пролази кроз \(н\) танка стакла са истим карактеристикама, постављена узастопно.

Решење

Представићемо са 1 укупну светлост; апсорбујући 2% светлости, тада 98% светлости пролази кроз стакло.

Представићемо са \({{а}_{н}}\) проценат светлости који пролази кроз стакло \(н\) .

\({а}_{1}}=0,98,~{{а}_{2}}=0,98\лево( 0,98 \десно),~{{а}_{3}}={{\лево( 0,98 \десно)}^{2}}\лево( 0,98 \десно),\)

Генерално \({{а}_{н}}={{\лефт( 0,98 \ригхт)}^{н}}\)

до. \({{а}_{10}}={{\лефт( 0.98 \ригхт)}^{10}}=0.81707\); што нам говори да након стакла 10 прође 81.707% светлости

б. \({{а}_{20}}={{\лефт( 0.98 \ригхт)}^{20}}=~0.66761\); што нам говори да након стакла 20 прође 66,761%

Збир првих \(н\) елемената геометријске прогресије

С обзиром на геометријску прогресију \({{а}_{1}},{{а}_{1}}р,{{а}_{1}}{{р}^{2}},{{а} 1}}{{р}^{3}}\)….

Када је \(р\не 1\) збир првих \(н\) елемената, збир:

\({{С}_{н}}={{а}_{1}}+{{а}_{1}}р+{{а}_{1}}{{р}^{2}} +{{а}_{1}}{{р}^{3}}+\лдотс +{{а}_{1}}{{р}^{н-1}}\)

Може се израчунати са

\({{С}_{н}}={{а}_{1}}\фрац{\лефт( 1-{{р}^{н}} \ригхт)}{1-р},~р \н1\)

Пример/вежба 4. Из примера 2 израчунајте \({{С}_{33}}\).

Решење

У овом случају \({{а}_{1}}=\фрац{5}{{{4}^{15}}}\) и \(р=-4\)

применом

\({{С}_{н}}={{а}_{1}}\фрац{\лефт(1-{{р}^{н}} \десно)}{1-р}\)

\({{С}_{22}}=\фрац{5}{{{4}^{15}}\фрац{1-{{\лефт(-4 \ригхт)}^{22}}} {1-\лево( -4 \десно)}\)

\({{С}_{22}}=\фрац{5}{{{4}^{15}}\фрац{1-{{\лефт(-4 \ригхт)}^{22}}} {5}\)

\({{С}_{22}}=\фрац{1-{{\лефт( 4 \ригхт)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{С}_{22}}=\фрац{1}{{{4}^{15}}}-\фрац{{{\лефт( 4 \ригхт)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{С}_{22}}=\фрац{1}{{{4}^{15}}-{{4}^{7}}\)

Пример/вежба 5. Претпоставимо да особа постави фотографију свог љубимца и подели је са 3 своја пријатеља на интернет друштвеној мрежи, а за један сат сваки од њих, дели фотографију са још три особе, а затим, за још један сат, свако од њих дели фотографију са још 3 особе људи; И тако то иде даље; свака особа која прими фотографију подели је са још 3 особе у року од сат времена. За 15 сати, колико људи већ има фотографију?

Решење

Следећа табела приказује прве прорачуне
Време Људи који примају фотографију Људи који имају фотографију
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Број људи који добију фотографију у сату \(н\) је једнак: \({{3}^{н}}\)

Број људи који већ имају фотографију у сату је једнак:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\лдотс +{{3}^{н}}\)

применом

\({{С}_{н}}={{а}_{1}}\фрац{\лефт(1-{{р}^{н}} \десно)}{1-р}\)

Са \({{а}_{1}}=3,\) \(р=3\) и \(н=15\)

При чему:

\({{С}_{н}}=\фрац{\лефт( 1-{{3}^{15}} \десно)}{1-3}=7174453\)

геометријске средине

Дати два броја \(а~\) и \(б,\) бројеви \({{а}_{2}},{{а}_{3}},\лдотс,{{а}_{к +1}}\) се називају \(к\) геометријске средине бројева \(а~\) и \(б\); ако је низ \(а,{{а}_{2}},{{а}_{3}},\лдотс,{{а}_{к+1}},б\) геометријска прогресија.

Да бисте знали вредности \(к\) геометријских средина бројева \(а~\) и \(б\), довољно је знати однос аритметичке прогресије, за то се мора узети у обзир следеће:

\(а={{а}_{1}},{{а}_{2}},{{а}_{3}},\лдотс,{{а}_{к+1}},{ {а}_{к+2}}=б,\)

Из горе наведеног успостављамо однос:

\(б=а{{р}^{к+1}}\)

Решавајући за \(д\), добијамо:

\(б=а{{р}^{к+1}}\)

\(\фрац{б}{а}={{р}^{к+1}}\)

\(р=\скрт[к+1]{\фрац{б}{а}}\)

Пример/вежба 6. Пронађите 2 геометријске средине између бројева -15 и 1875.

Решење

Приликом пријаве

\(р=\скрт[к+1]{\фрац{б}{а}}\)

са \(б=375,~а=-15\) и \(к=2~\):

\(р=\скрт[2+1]{\фрац{1875}{-15}}\)

\(р=\скрт[3]{-125}=-5\)

3 геометријске средине су:

\(75,-375\)

Пример/вежба 7. Особа је улагала новац и примала камату сваког месеца 6 месеци и његов капитал се повећавао за 10%. Под претпоставком да се стопа није променила, колика је била месечна каматна стопа?

Решење

Нека је \(Ц\) уложени капитал; коначни капитал је \(1.1Ц\); Да бисмо решили задатак морамо поставити 5 геометријских средина, применом формуле:

\(р=\скрт[к+1]{\фрац{б}{а}}\)

Са \(к=5,~б=1.1Ц\) и \(а=Ц.\)

\(р=\скрт[5+1]{\фрац{1.1Ц}{Ц}}=\скрт[6]{1.1}=1.016\)

Примљена месечна стопа је била \(1,6%\)