Дефиниција квадратне/квартичне једначине

Једначина другог степена или, ако то не успе, квадратна, у односу на непознату, изражава се у облику:
\(а{к^2} + бк + ц = 0\)
Где је непознато \(к\), све док су \(а, б\) и ц реалне константе, са \(а \не 0.\)

Постоји неколико техника за решавање квадратних једначина, укључујући факторизацију, у ком случају морамо узети у обзир следеће особине према резолуцији:

Ако је производ два броја нула, постоје две могућности:

1. Оба су једнака нули.
2. Ако је један различит од нуле, онда је други нула

Горе наведено може се изразити на следећи начин:
Ако је \(пк = 0\) онда је \(п = 0\) или \(к = 0\).

Практични пример 1: решити једначину \({к^2} – 8\)=0

\({к^2} – 8 = 0\)	Почетна ситуација
\({к^2} – 8 + 8 = 8\)	Додајте 8 на обе стране једначине за решавање за \({к^2}\)
\(\скрт {{к^2}} = \скрт {{2^3}} = \скрт {{2^2}2} = \скрт {{2^2}} \скрт 2 = 2\скрт 2 \)	Квадратни корен се добија тражећи изоловање \(к.\) 8 се раставља на факторе и примењују се својства радикала и моћи.
\(\лево| к \десно| = 2\скрт 2 \)	Добијате корен од \({к^2}\)
\(к = \пм 2\скрт 2 \)

Решења \({к^2} – 8\)=0 су:
\(к = – 2\скрт 2 ,\;2\скрт 2 \)

Практични пример 2: Решите једначину \({к^2} – 144\)=0

\({к^2} – 144 = 0\)	Почетна ситуација
\({к^2} – {12^2} = 0\)	Квадратни корен од 144 је 12. Идентификована је разлика квадрата.
\(\лефт( {к + 12} \десно)\лефт( {к – 12} \десно) = 0\)	Разлика квадрата се раставља на факторе
\(к + 12 = 0\) \(к = – 12\)	Разматрамо могућност да је фактор \(к + 12\) једнак 0. Добијена једначина је решена.
\(к – 12 = 0\) \(к = 12\)	Разматрамо могућност да је фактор \(к – 12\) једнак 0. Добијена једначина је решена.

Решења једначине \({к^2} – 144 = 0\) су

\(к = – 12,\;12\)

Практични пример 3: решити једначину \({к^2} + 3к = 0\)

\({к^2} + 3к = 0\)	Почетна ситуација
\(к\лево( {к + 3} \десно) = 0\)	\(к\) се идентификује као заједнички фактор и врши се факторизација.
\(к = 0\)	Размотрите могућност да је фактор \(к\) једнак 0.
\(к + 3 = 0\) \(к = – 3\)	Разматрамо могућност да је фактор \(к – 12\) једнак 0. Добијена једначина је решена.

Решења једначине \({к^2} + 3к = 0\), су:
\(к = – 3,0\)

Практични пример 4: Решите једначину \({к^2} – 14к + 49 = 0\)

\({к^2} – 14к + 49 = 0\)	Почетна ситуација
\({к^2} – 14к + {7^2} = 0\)	Квадратни корен од 49 је 7 и \(2к\лефт( 7 \ригхт) = 14к.\) Идентификован је савршени квадратни трином.
\({\лефт( {к – 7} \десно)^2} = 0\)	Савршени квадратни трином се изражава као бином на квадрат.
\(к – 7 = 0\) \(к = 7\)

Решење \({к^2} – 14к + 49 = 0\) је:
\(к = 7\)

Практични пример 5: Решите једначину \(10{к^2} – 23к + 12 = 0\)

\(10{к^2} – 23к + 12 = 0\)	Почетна ситуација
\(10{к^2} – 23к + 12 = 0\)	Производ \(\лефт( {10} \десно)\лефт( {12} \десно) = 120 = \лефт( { – 8} \десно)\лефт( { – 15} \десно)\)
\(\лево( {10{к^2} – 8к} \десно) – 15к + 12 = 0\)	Изражава се као \( – 23к = – 18к – 15\)
\(2к\лево( {5к – 4} \десно) – 3\лево( {5к – 4} \десно) = 0\)	Идентификујте \(2к\) као заједнички чинилац у првом сабирку и чините га. Идентификујте \( – 3\) као заједнички чинилац у другом додатку и разложите га.
\(\лево( {5к – 4} \десно)\лево( {2к – 3} \десно) = 0\)	Фактор заједничког фактора \(5к – 4\)
\(5к – 4 = 0\) \(к = \фрац{4}{5}\)	Разматрамо могућност да је фактор \(5к – 12\) једнак 0. Добијена једначина је решена.
\(2к – 3 = 0\) \(к = \фрац{3}{2}\)	Размотримо могућност да је фактор \(2к – 3\) једнак 0. Добијена једначина је решена.

Решења \(10{к^2} – 23к + 12 = 0\) су:
\(к = \фрац{4}{5},\;\фрац{3}{2}\)

Практични пример 6: Решите једначину \({к^2} + 4к + 1 = 0\)

\({к^2} + 4к + 1 = 0\)	Почетна ситуација Трином није савршен квадрат
\({к^2} + 4к + 1 – 1 = – 1\)	Додајте -1 свакој страни једначине.
\({к^2} + 4к = – 1\)	Пошто је \(\фрац{1}{2}\лефт( 4 \ригхт) = 2\) додавањем \({2^2}\), добијамо савршен квадрат.
\({к^2} + 4к + 4 = – 1 + 4\)	Додајте \({2^2}\;\) свакој страни једначине. Лева страна је савршен квадрат.
\({\лефт( {к + 2} \десно)^2} = 3\)	Савршени квадратни трином се изражава као бином на квадрат.
\(\скрт {{{\лефт( {к + 2} \десно)}^2}} = \пм \скрт 3 \)	Узми квадратни корен сваке стране једначине
\(\лево| {к + 2} \десно| = \скрт 3 \) \(к = – 2 \пм \скрт 3 \)	Решити за \(к\).

Решења \({к^2} + 4к + 1 = 0\) су:
\(к = – 2 – \скрт 3 ,\; – 2 + \скрт 3 \)

Практични пример 7: Решите једначину \(5{к^2} + 3к – 1 = 0\)

\(5{к^2} + 3к – 1 = 0\)	Почетна ситуација Трином није савршен квадрат.
\(5{к^2} + 3к – 1 + 1 = 1\)	Додајте 1 свакој страни једначине
\(\фрац{1}{5}\лефт( {5{к^2} + 3к} \десно) = \фрац{1}{5}\лефт( 1 \ригхт)\)	Помножите са сваком страном једначине тако да коефицијент од \({к^2}\) буде једнак 1.
\({к^2} + \фрац{3}{5}к = \фрац{1}{5}\)	производ се дистрибуира Пошто је \(\фрац{1}{2}\лефт( {\фрац{3}{5}} \ригхт) = \фрац{3}{{10}}\), додавањем \({\лефт( { \фрац{3}{{10}}} \ригхт)^2} = \фрац{9}{{100}}\) даје савршен квадратни трином.
\({к^2} + \фрац{3}{5}к + \фрац{9}{{100}} = \фрац{1}{5} + \фрац{9}{{100}}\)	Додајте 3 на обе стране једначине за решавање за \({\лефт( {к + 2} \десно)^2}\)
\({\лефт( {к + \фрац{3}{{10}}} \ригхт)^2}\)=\(\фрац{{29}}{{100}}\)	Савршени квадратни трином се изражава као кубни бином.
\(\скрт {{{\лефт( {к + \фрац{3}{{10}}} \ригхт)}^2}} = \скрт {\фрац{{29}}{{100}}} \ )	Узми квадратни корен сваке стране једначине
\(к = – \фрац{3}{{10}} \пм \фрац{{\скрт {29} }}{{10}}\)	Решити за \(к\).

Решења \(5{к^2} + 3к – 1 = 0\) су:
\(к = – \фрац{{3 + \скрт {29} }}{{10}},\; – \фрац{{3 – \скрт {29} }}{{10}}\)

Процедура коришћена у горњој једначини ће се користити за проналажење онога што се зове општа формула за квадратна решења.

Општа формула једначине другог степена.

Општа формула квадратних једначина

У овом одељку ћемо наћи како да решимо, на општи начин, квадратну једначину

Уз \(а \не 0\) размотримо једначину \(а{к^2} + бк + ц = 0\).

\(а{к^2} + бк + ц = а\лево( {{к^2} + \фрац{б}{а}к + \фрац{ц}{а}} \десно) = 0\)

Пошто је \(а \не 0\) довољно је решити:

\({к^2} + \фрац{б}{а}к + \фрац{ц}{а} = 0\)

\({к^2} + \фрац{б}{а}к + \фрац{ц}{а} = 0\)	Почетна ситуација
\({к^2} + \фрац{б}{а}к + \фрац{ц}{а} – \фрац{ц}{а} = – \фрац{ц}{а}\)	Додајте \( – \фрац{ц}{а}\) на сваку страну једначине.
\({к^2} + \фрац{б}{а}к = – \фрац{ц}{а}\)	Пошто је \(\фрац{1}{2}\лефт( {\фрац{б}{а}} \ригхт) = \фрац{б}{{2а}}\), додавањем \({\лефт( { \фрац{б}{{2а}}} \ригхт)^2} = \фрац{{{б^2}}}{{4{а^2}}}\) даје савршен квадратни трином.
\({к^2} + \фрац{б}{а}к + \фрац{{{б^2}}}{{4{а^2}}} = \фрац{{{б^2}} }{{4{а^2}}} – \фрац{ц}{а}\)	Лева страна једначине је савршен квадратни трином.
\({\лефт( {к + \фрац{б}{{2а}}} \ригхт)^2} = \фрац{{{б^2} – 4{а^2}ц}}{{4{ а^2}}}\)	Савршени квадратни трином се изражава као бином на квадрат. Алгебарски разломак је готов.
\(\скрт {{{\лефт( {к + \фрац{б}{{2а}}} \десно)}^2}} = \скрт {\фрац{{{б^2} – 4{а^ 2}ц}}{{4{а^2}}}} \)	Узми квадратни корен сваке стране једначине.
\(\лефт| {к + \фрац{б}{{2а}}} \ригхт| = \фрац{{\скрт {{б^2} – 4{а^2}ц} }}{{2а} }\)	Примењују се радикална својства.
\(к + \фрац{б}{{2а}} = \пм \фрац{{\скрт {{б^2} – 4{а^2}ц} }}{{2а}}\)	Примењују се својства апсолутне вредности.
\(к + \фрац{б}{{2а}} – \фрац{б}{{2а}} = \пм \фрац{{\скрт {{б^2} – 4{а^2}ц} } {{2а}} – \фрац{б}{{2а}}\)	На сваку страну једначине додајте \( – \фрац{б}{{2а}}\) да бисте решили за \(к\)
\(к = \фрац{{ – б \пм \скрт {{б^2} – 4ац} }}{{2а}}\)	Алгебарски разломак је готов.

Термин \({б^2} – 4{а^2}ц\) назива се дискриминанта квадратне једначине \(а{к^2} + бк + ц = 0\).

Када је дискриминанта горње једначине негативна, решења су комплексни бројеви и нема реалних решења. Сложена решења неће бити обухваћена у овој напомени.

С обзиром на квадратну једначину \(а{к^2} + бк + ц = 0\), ако је \({б^2} – 4{а^2}ц \ге 0\). Тада су решења ове једначине:

\(\алпха = \фрац{{ – б + \скрт {{б^2} – 4ац} }}{{2а}}\)

\(\бета = \фрац{{ – б – \скрт {{б^2} – 4ац} }}{{2а}}\)

Израз:

\(к = \фрац{{ – б \пм \скрт {{б^2} – 4ац} }}{{2а}}\)

Зове се општа формула квадратне једначине.

Практични пример 8: решити једначину \(3{к^2} – 2к – 5 = 0\)

\(до\)	\(б\)	\(ц\)	Дискриминирајући	стварна решења
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\лефт( 3 \десно)\лефт( { – 5} \десно) = 4 + 60 = 64\)	\(к = \фрац{{ – \лефт( { – 2} \ригхт) \пм \скрт {64} }}{{2\лефт( 3 \ригхт)}} = \фрац{{2 \пм 8} {6}\)

Решења једначине су:
\(\алпха = – 1,\;\бета = \фрац{5}{3}\)

Практични пример 9: Решите једначину \( – 4{к^2} + 3к + 9 = 0\)

\(до\)	\(б\)	\(ц\)	Дискриминирајући	стварна решења
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\лефт( { – 4} \десно)\лево( 9 \десно) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\лево( {17} \десно)\)	\(к = \фрац{{ – 3 \пм \скрт {9\лефт( {17} \ригхт)} }}{{2\лефт( { – 4} \ригхт)}} = \фрац{{ – 3 \пм 3\скрт {17} }}{{ – 8}}\)

Решења једначине су:
\(\алпха = \фрац{{3 – 3\скрт {17} }}{8},\;\бета = \фрац{{3 + 3\скрт {17} }}{8}\)

Практични пример 10: Решите једначину \(5{к^2} – 4к + 1 = 0\)

\(до\)	\(б\)	\(ц\)	Дискриминирајући	стварна решења
\(5\)	-4	\(1\)	\({\лефт( { – 4} \десно)^2} – 4\лефт( 5 \ригхт)\лефт( 1 \ригхт) = 16 – 20 = – 4\)	Нема

Мисцелланеоус Екуатионс

Постоје неквадратне једначине које се могу претворити у квадратну једначину. Видећемо два случаја.

Практични пример 11: Проналажење реалних решења једначине \(6к = 5 – 13\скрт к \)

Променом променљиве \(и = \скрт к \), претходна једначина остаје као:

\(6{и^2} = 5 – 13и\)

\(6{и^2} + 13и – 5 = 0\)

\(6{и^2} + 15и – 2и – 5 = 0\)

\(3и\лефт( {2и + 5} \десно) – \лефт( {2и + 5} \десно) = 0\)

\(\лефт( {2и + 5} \десно)\лефт( {3и – 1} \десно) = 0\)

Према томе \(и = – \фрац{2}{5},\;\фрац{1}{3}\).

Пошто \(\скрт к \) означава само позитивне вредности, размотрићемо само:

\(\скрт к = \;\фрац{1}{3}\)

Одговор:

Једино право решење је:
\(к = \фрац{1}{9}\)

Обрађен пример 12: Решите једначину \(\скрт {\фрац{к}{{к – 5}}} – \скрт {\фрац{{к – 5}}{к}} = \фрац{5}{6 }\)

Прављење промене променљиве:

\(и = \скрт {\фрац{к}{{к – 5}}} \)

Добијамо једначину:

\(и – \фрац{1}{и} = \фрац{5}{6}\)

\(6{и^2} – 6 = 5и\)

\(6{и^2} – 5и – 6 = 0\)

\(6{и^2} – 9и + 4и – 6 = 0\)

\(3и\лефт( {2и – 3} \десно) + 2\лефт( {2и – 3} \десно) = 0\)

\(\лефт( {2и – 3} \десно)\лефт( {3и + 2} \десно) = 0\)

Могуће вредности \(и\) су:

\(и = – \фрац{2}{3},\;\фрац{3}{2}\)

Од наведеног ћемо размотрити само позитивно решење.

\(\скрт {\фрац{к}{{к – 5}}} = \фрац{3}{2}\)

\(\фрац{к}{{к – 5}} = \фрац{9}{4}\)

\(4к = 9к – 45\)

\(5к = 45\)

\(к = 9.\)

Решења су \(к = 9.\)