Дефиниција експоненцијалне функције

Експоненцијална функција моделује различите природне појаве и друштвене и економске ситуације, због чега је важно идентификовати експоненцијалне функције у различитим контекстима.

Подсетимо се да је за број дефинисано \({а^1} = а,{а^2} = аа,\;{а^3} = ааа\), генерално имамо то за било које \(н\ ) природни број:

У случају \(а \не 0\), имамо следеће: \({а^0} = 1,\;\) у ствари, када \(а \не 0,\) има смисла извршити операцију \ (\фрац{а}{а} = 1;\) када применимо закон експонената, имамо:

\(\фрац{а}{а} = 1\)

\({а^{1 – 1}} = 1\)

\({а^0} = 1.\)

Када је \(а = 0\), претходно резоновање нема смисла, стога изразу \({0^0},\) недостаје математичка интерпретација.

У случају да је \(б > 0\) и тачно је да је \({б^н} = а,\) каже се да је \(б\) н-ти корен од \(а\) и обично је означено као \ (б = {а^{\фрац{1}{н}}},\;\) или \(б = \скрт[н]{а}\).

Када је \(а < 0\), не постоји прави број \(б\) такав да је \({б^2} = а;\) јер \({б^2} \ге 0;\;\ ) па изрази облика \({а^{\фрац{м}{н}}}\), неће се сматрати за \(а < 0.\) У следећем алгебарском изразу: \({а^н}\) \(а \ ) се зове база, а \(н\) је назива експонент, \({а^н}\) се назива степен \(\;н\) од \(а\) или се такође назива \(а\) на степен \(н,\;\)се придржавати се следећих закона експонената:

\({а^н}{а^м} = {а^{н + м}}\)	\(\фрац{{{а^н}}}{{{а^м}}} = {а^{н – м}}\)	\({\лефт( {{а^н}} \десно)^м} = {а^{нм}} = {\лефт( {{а^м}} \десно)^н}\)
\(\фрац{1}{{{а^н}}} = {а^{ – н}}\)	\({а^н} = \фрац{1}{{{а^{ – н}}}}\)	\({\лефт( {\фрац{1}{а}} \десно)^н} = \фрац{1}{{{а^н}}}\)
\({\лефт( {аб} \десно)^н} = {а^н}{б^н}\)	\({\лефт( {{а^{\фрац{1}{н}}}} \десно)^м} = {\лефт( {{а^м}} \десно)^{\фрац{1} {н}}} = {а^{\фрац{м}{н}}}\)	\({а^0} = 1\) за сваки \(а \не 0\)

Експоненцијална функција је облика:

\(ф\лево( к \десно) = {а^к}\)

где је \(а > 0\) константа, а независна променљива је експонент \(к\).

Да бисмо извршили анализу експоненцијалне функције, размотрићемо три случаја

Случај 1 Када је основа \(а = 1.\)

У овом случају, \(а = 1,\) функција \(ф\лефт( к \ригхт) = {а^к}\) је константна функција.

Случај 2 Када је основа \(а > 1\)

У овом случају имамо следеће:

Вредност \(к\)
\(к < 0\)	\(0 < {а^к} < 1\)
\(к = 0\)	\({а^0} = 1\)
\(0 < к < 1\)	\(1 < {а^к} < а\)
\(к = 1\)	\({а^к} = 1\)
\(к > 1\)	\(а < {а^к}\)

Функција \(ф\лефт( к \ригхт) = {а^к}\) је стриктно растућа функција, односно, ако је \({к_2} > {к_1}\), онда:

\({а^{{к_2}}} > а_{}^{{к_2}}\)

\(ф\лево( {{к_2}} \десно) > ф\лево( {{к_1}} \десно)\)

Када се феномен моделује експоненцијалном функцијом, са \(а > 1\), кажемо да представља експоненцијални раст.

Случај 2 Када је основа \(а < 1\).

Вредност \(к\)
\(к < 0\)	\({а^к} > 1\)
\(к = 0\)	\({а^0} = 1\)
\(0 < к < 1\)	\(0 < {а^к} < 1\)
\(к = 0\)	\({а^к} = 1\)
\(к > 1\)	\(0 < {а^к} < а < 1\)

Када је \(а < 1\), функција \(ф\лефт( к \ригхт) = {а^к}\) је стриктно опадајућа функција, односно ако је \({к_2} > {к_1}\), тако:

\({а^{{к_2}}} < а_{}^{{к_1}}\) \(ф\лево( {{к_2}} \десно) < ф\лево( {{к_1}} \десно) \) Када је појава модела са експоненцијалном функцијом, са \(а < 1\), кажемо да представља опадање или смањење експоненцијална. Следећи графикон илуструје понашање \({а^к}\), у три различита случаја.

Примене експоненцијалне функције

Пример 1 Раст становништва

Означићемо са \({П_0}\) почетну популацију и са \(р \ге 0\) стопу раста популације, ако стопа популације остане константна током времена; функција

\(П\лефт( т \ригхт) = {П_0}{\лефт( {1 + р} \ригхт)^т};\)

Пронађите становништво у време т.

Практични пример 1

Становништво Мексика 2021. године износи 126 милиона и представља годишњи раст од 1,1%. Ако се овај раст одржи, колико ће становника бити у Мексику 2031. године 2021?

Решење

У овом случају \({П_о} = 126\) и \(р = \фрац{{1.1}}{{100}} = 0.011\), тако да треба да користите:

\(П\лефт( т \ригхт) = {П_0}{\лефт( {1 + .0011} \ригхт)^т}\)

Следећа табела приказује резултате

Година	протекло време (\(т\))	Калкулација	Становништво (милиони)
2021	0	\(П\лефт(т\десно) = 126{\лефт( {1.0011} \десно)^0}\)	126
2031	10	\(П\лефт(т\ригхт) = 126{\лефт({1.0011} \ригхт)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(П\лефт( т \ригхт) = 126{\лефт( {1.0011} \ригхт)^{30}}\)	174.95

Пример 2 Обрачун сложене камате

Банке нуде годишњу каматну стопу, али стварна стопа зависи од тога колико месеци је инвестирате; На пример, ако вам се понуди годишња каматна стопа од р%, стварна месечна стопа је \(\фрац{р}{{12}}\)%, двомесечна стопа је \(\фрац{р}{6}\)%, квартално је \(\фрац{р}{4}\)%, квартално \(\фрац{р}{3}\)%, а семестар је \(\фрац{р}{2}\)%.

Практични пример 2

Претпоставимо да уложите 10.000 у банку и она вам нуди следеће годишње камате:

Орочени депозити	Годишња стопа	периоди у години	стварна стопа	Акумулиран новац у \(к\) месеци
два месеца	0.55%	6	\(\фрац{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\рм{\% }}\)	\(10000{\лево( {1 + 0,00091667} \десно)^{\фрац{к}{2}}}\)
три месеца	1.87%	4	\(\фрац{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\рм{\% }}\)	\(10000{\лево( {1 + 0,00461667} \десно)^{\фрац{к}{3}}}\)
шест месеци	1.56%	2	\(\фрац{{1.56\% }}{4} = 0.78{\рм{\% }}\)	\(10000{\лево( {1 + 0,0078} \десно)^{\фрац{к}{6}}}\)

Број \(е\), Ојлеров константан и континуиран интерес.

Претпоставимо сада да имамо почетни капитал \(Ц\) и улажемо га по фиксној стопи \(р > 0\), и поделимо годину на \(н\) периоде; капитал акумулиран за годину дана је једнак:

\(А = \;Ц{\лево( {1 + \фрац{р}{н}} \десно)^н}\)

Да бисмо анализирали како се акумулирани капитал понаша када \(н\), расте, преписаћемо акумулирани капитал, за годину дана:

\(А = \;Ц{\лефт( {1 + \фрац{р}{н}} \десно)^н}\)\(А = \;Ц{\лефт( {1 + \фрац{1} {{\фрац{н}{р}}}} \десно)^{\лево( {\фрац{н}{р}} \десно) р}},\)

радећи \(м = \фрац{н}{р}\), добијамо:

\(А = Ц{\лефт( {1 + \фрац{1}{м}} \десно)^{мр}}\)\(А = Ц{\лефт( {{{\лефт( {1 + \ фрац{1}{м}} \десно)}^м}} \десно)^р}.\)

Како \(н\) расте, расте и \(м = \фрац{н}{р}.\)

Како \(м = \фрац{н}{р},\) расте израз \({\лефт( {1 + \фрац{1}{м}} \ригхт)^м}\) приближава се ономе што се назива Ојлерова константа или број:

\(е \приближно 2,718281828 \лдотс.\)

Ојлерова константа нема коначан или периодичан децимални израз.

Имамо следеће апроксимације

\(Ц{\лефт( {{{\лефт( {1 + \фрац{1}{м}} \десно)}^м}} \десно)^р} \приближно Ц{е^р},\) \(Ц{\лефт( {1 + \фрац{р}{н}} \десно)^{нс}} \приближно Ц{е^{рс}}.\)

до израза:

\(А = \;Ц{е^р},\)

Можемо га тумачити на два начина:

1.- Као максимални износ који можемо акумулирати за годину дана када уложимо капитал \(Ц,\;\) по годишњој стопи \(р.\)

2.- Као износ који бисмо акумулирали за годину дана да се наш капитал континуирано реинвестира по годишњој стопи \(р.\)

\(Т\лефт( с \десно) = \;Ц{е^{рс}},\)

је износ акумулиран ако се \(с\) година инвестира са континуираном каматом.

Конкретан пример 3

Сада ћемо се вратити на део конкретног примера 2, где је годишња стопа 0,55% у двомесечним ратама. Израчунајте капитал који се акумулира ако је почетни капитал 10.000 и реинвестира се пола године, две године, 28 месеци.

\(10{\лефт( {1.00091667} \десно)^{\фрац{6}{2}}} = 10.{\рм{\;}}027525\)

као што табела испод показује, вредност \(м = \фрац{н}{р},\) није „мала“ и табела изнад показује да је \({\лефт( {1 + \фрац{1}{ м}} \десно)^м}\) је близу Ојлеровој константи.

време	Број периода (\(к\))	Акумулирани капитал, у хиљадама, реинвестира се свака два месеца
Пола године	3	\(10{\лефт( {1.00091667} \десно)^3} = 10.{\рм{\;}}027525\)
Две године	12	\(10{\лефт( {1.00091667} \десно)^{12}} = 10110.{\рм{\;}}557\)
38 месеци	19	\(10{\лефт( {1.00091667} \десно)^{19}} = 10.\;175612\)

време	Време у годинама (\(с\))	Акумулирани капитал, у хиљадама, инвестирајте уз континуирану камату
Пола године	\(с = \фрац{1}{2}\)	\(10{е^{0,0055\лефт( {\фрац{1}{2}} \десно)}} = 10.{\рм{\;}}027538\)
Две године	\(с = 2\)	\(10{\лефт( {1.00091667} \десно)^{0.0055\лефт( 2 \ригхт)}} = 10110.{\рм{\;}}607\)
38 месеци	\(с = \фрац{{19}}{6}\)	\(10{\лефт( {1.00091667} \десно)^{\фрац{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Пример 2 Амортизација

Практични пример 1

Рачунар сваке године депресира 30%, ако рачунар кошта 20.000 пезоса, одредите цену рачунара за \(т = 1,12,\;14,\;38\) месеци.

У овом случају, неко има:

\(П\лефт( т \десно) = 20000{\рм{\;}}{\лефт( {1 – 0,30} \десно)^т}\)

Са \(т\) у годинама, замена \(т\) у следећој табели даје

време у месецима	време у годинама	калкулације	Нумеричка вредност
1	\(\фрац{1}{{12}}\)	\(П\лефт( т \ригхт) = 20000{\рм{\;}}{\лефт( {1 – .30} \ригхт)^{\фрац{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(П\лефт( т \десно) = 20000{\рм{\;}}{\лефт( {1 – .30} \десно)^1}\)	14000
14	\(\фрац{7}{6}\)	\(П\лефт( т \ригхт) = 20000{\рм{\;}}{\лефт( {1 – .30} \ригхт)^{\фрац{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\фрац{{19}}{6}\)	\(П\лефт( т \ригхт) = 20000{\рм{\;}}{\лефт( {1 – .30} \ригхт)^{\фрац{7}{6}}}\)	6464.0859