Пример пуног простора

Математичка анализа је грана математичких наука која се бави проучавањем пуни простор, што је врста метричког простора.

Метрички простор чине парови тачака и функција растојања између њих; у тим просторима је могуће дефинисати Цауцхи-јев низ који настаје на све мањим растојањима између ове две тачке. Када у метричком простору више није могуће пронаћи мању удаљеност у низу онда имамо а пуни простор. Затворени нумерички скупови, односно они у којима постоји ограничење, су потпуни размаци.

Пример пуног простора:

Скуп природних бројева, укључујући 0, потпуни је размак јер је овај скуп затворен до краја 0. Приказ овог скупа бројева је Н.= [0, 1, 2,… н}.

Узмимо било које две тачке између два елемента овог скупа, на пример 4 и 8, представљена на следећи начин п = (4, 8), функција растојања између две тачке једнака је 4, Коши секвенца је дата низом {4, 3, 2, 1, 0} који конвергира на 0.

Други пример је скуп позитивних реалних бројева формираних са {0} који је представљен као И⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. Н.}, пошто су дате две тачке у овом простору, Цауцхи-јев низ ће се конвергирати када је удаљеност 0

Скуп рационалних бројева није потпун простор, јер удаљеност 0 (број 0 као број не постоји у овом скупу) што чини Цауцхи-јев низ не конвергентним у било којој тачки овог комплет.

Било који затворени интервал природних бројева је потпуни простор.