คำจำกัดความของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

โดยพื้นฐานแล้ว เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดคือสิ่งที่เกิดจากการตั้งคำถามของสิ่งที่เรียกว่า หลักธรรมข้อที่ 5 ของยุคลิดดังนั้น ลักษณะทั่วไปของงานของยุคลิดจึงเป็นสิ่งจำเป็น ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์และ geometer ชาวกรีก ซึ่งงานนี้เป็นกระบวนทัศน์สำหรับ เรขาคณิตให้ถือว่าเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้ง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า ความปลอดภัย ซึ่งอาศัยอยู่ในเมืองอเล็กซานเดรีย ศูนย์กลางทางวัฒนธรรมของสมัยโบราณ ราวๆ 300 ปีก่อนคริสตกาล ค.

งานของเขา องค์ประกอบ มันเริ่มต้นด้วยชุดของ "หลักการ" ซึ่งประกอบด้วยรายการคำจำกัดความ 23 รายการ ตามด้วย 5 สัจธรรม หมายถึง ตัวเลข ทางเรขาคณิตโดยเฉพาะ และสัจพจน์ทั่วไป 5 ประการ ซึ่งพบได้ทั่วไปในสาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ ต่อไป หลังจากหลักการ Euclid แนะนำ "ข้อเสนอ" ของสองประเภท: ปัญหาที่อ้างถึง

อาคาร ของตัวเลขที่มีกฎและเข็มทิศ และทฤษฎีบท หมายถึง การสาธิตคุณสมบัติบางอย่างที่ ตัวเลขทางเรขาคณิต.

สัจพจน์ที่ห้าของยุคลิด

เขากล่าวว่า “ถ้าเส้นตรงที่ตกบนเส้นตรงอีกสองเส้นทำให้มุมภายในของด้านเดียวกันเล็กกว่าเส้นตรงสองเส้น แล้วถ้าทั้งสองเส้นยืดยาวไปเรื่อย ๆ ให้มาบรรจบกันที่ด้านที่มีมุมน้อยกว่าสองเส้น ตรง”. หากมุมฉากถูกต้อง เส้นดังกล่าวตามคำจำกัดความที่ 23 จะขนานกัน ("เส้นขนานคือเส้นที่หากอยู่ในระนาบเดียวกันและยาวไปเรื่อย ๆ จะไม่บรรจบกันในทุกทิศทาง”).

สมมุติฐานนี้ ซับซ้อนกว่าข้อก่อน ๆ นั้นไม่อาจโต้แย้งได้ในตัวเอง ไม่เป็นที่แน่ชัดว่ายืดเยื้อ เส้นเหล่านั้นจะตัดกันอย่างไม่มีกำหนดโดยด้านที่มีมุมน้อยกว่ามุมฉากสองมุม เนื่องจากไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วย อาคาร. จากนั้น ความเป็นไปได้ที่เส้นทั้งสองจะเข้าหากันอย่างไม่มีกำหนดโดยไม่เคยตัดกันก็ถูกเปิดทิ้งไว้

ความพยายามที่จะพิสูจน์สัจธรรมที่ห้า

ด้วยเหตุนี้เองที่ตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงกลางศตวรรษที่ 19 มีความพยายามที่ล้มเหลวหลายครั้งในการพิสูจน์สัจธรรมข้อที่ห้า: การพิสูจน์ได้รับการพิสูจน์เสมอ แต่แนะนำสมมุติฐานเพิ่มเติมอื่นๆ (เทียบเท่าตรรกะกับข้อที่ห้า) ซึ่งแตกต่างจากสมมติฐานของยุคลิด นั่นคือ สัจธรรมข้อที่ห้าไม่สามารถพิสูจน์ได้ แต่ถูกแทนที่ด้วยสัจพจน์ที่เทียบเท่ากัน

ตัวอย่างนี้คือสมมติฐานของ John Playfair (s. XVIII): “จุดเดียวที่ขนานกับเส้นนั้นผ่านจุดนอกเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกัน” (เรียกว่า “สมมุติฐานคู่ขนาน”). เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเกิดขึ้นอย่างแม่นยำจากความพยายามที่ล้มเหลวในการพิสูจน์สัจพจน์ที่ห้าของระบบยุคลิด

บททดสอบความไร้สาระของ Saccheri

ในปี ค.ศ. 1733 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Girolamo Saccheri พยายามพิสูจน์ความไร้สาระของสัจพจน์ที่ห้าของ Euclid การทำเช่นนี้เขาสร้างรูปสี่เหลี่ยม (เรียกว่า "รูปสี่เหลี่ยมของ Saccheri” ซึ่งมุมคู่หนึ่งเป็นมุมฉาก) และระบุว่าสัจพจน์ที่ห้านั้นเทียบเท่ากับข้อเสนอที่ว่า มุมที่มีลักษณะเฉพาะ (ที่อยู่ตรงข้ามคู่มุมฉาก) ของรูปสี่เหลี่ยมนั้นก็เป็นมุมฉากเช่นกัน แล้วมีสาม สมมติฐาน เป็นไปได้ แยกออกจากกัน: ว่ามุมคุณลักษณะทั้งสองนั้นถูกต้อง แหลมหรือป้าน เพื่อพิสูจน์สัจธรรมข้อที่ 5 ด้วยความไร้สาระ จำเป็นต้องพิสูจน์ (โดยไม่ต้องอาศัยหลักที่ห้า สมมุติฐาน) ว่าสมมติฐานของมุมป้านและมุมแหลมส่อให้เห็นถึงความขัดแย้ง ดังนั้นจึงได้ เท็จ.

Saccheri พยายามพิสูจน์ว่าสมมติฐานมุมป้านขัดแย้งกัน แต่เขาไม่ประสบความสำเร็จในกรณีของมุมแหลม ในทางตรงกันข้าม เขาได้อนุมานชุดของทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับและเข้ากันไม่ได้กับเรขาคณิตแบบยุคลิด ในที่สุด เขาสรุปว่า ด้วยความแปลกประหลาดของทฤษฎีบทเหล่านี้ สมมติฐานต้องเป็นเท็จ ดังนั้น เขาจึงเชื่อว่าเขาได้พิสูจน์สัจธรรมข้อที่ห้าแล้ว ไร้สาระ; อย่างไรก็ตาม สิ่งที่เขาทำคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดโดยไม่ได้ตั้งใจ

การค้นพบรูปทรงที่ไม่ใช่แบบยุคลิด "พร้อมกัน"

คาร์ล เอฟ เกาส์ในศตวรรษที่สิบเก้าเป็นคนแรกที่สงสัยว่าสัจธรรมที่ห้าไม่สามารถพิสูจน์ได้จากอีกสี่ประการ (นั่นคือมันเป็น อย่างอิสระ) และในการรับรู้ถึงความเป็นไปได้ของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนสัจพจน์แบบยุคลิดทั้งสี่และบนการปฏิเสธของ ที่ห้า เขาไม่เคยตีพิมพ์การค้นพบของเขา: นี่เป็นกรณีของ การค้นพบพร้อมกันเพราะเขามีผู้อ้างอิงอิสระสามคน (ตัว Gauss เอง János Bolyai และ Nikolai Lobachevsky)

การปฏิเสธ ที่ห้า กฎ ของยุคลิดหมายถึงความเป็นไปได้สองประการ (โดยใช้สูตรที่เทียบเท่ากับเพลย์แฟร์): ผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นตรง ไม่มีการผ่านขนานกัน หรือมากกว่าหนึ่งครั้งขนานกัน ในบรรดาเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่เราพบ เช่น เรขาคณิต "จินตภาพ” โดย Lobachevsky — ภายหลังเรียกว่า “ไฮเปอร์โบลิก"- ตาม, "เมื่อกำหนดจุดภายนอกของเส้นหนึ่ง เส้นตัดกันอนันต์ เส้นที่ไม่ตัดกันอนันต์ และเส้นคู่ขนานเพียงสองเส้นเท่านั้นที่ผ่านจุดนั้น” ซึ่งแตกต่างจากแนวขนานแบบยุคลิดที่ไม่เหมือนใคร หรือเรขาคณิตวงรีของ Bernhard Riemann ซึ่งระบุว่า "ผ่านจุดนอกเส้น ขนานกับเส้นนั้นไม่ผ่าน”.

การประยุกต์ใช้และความหมายของการค้นพบ

ในปัจจุบัน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าในพื้นที่ท้องถิ่น เรขาคณิตทั้งสองให้ผลลัพธ์โดยประมาณ ความแตกต่างจะปรากฏขึ้นเมื่อมีการอธิบายพื้นที่ทางกายภาพโดยเรขาคณิตอย่างใดอย่างหนึ่ง โดยพิจารณาจากระยะทางที่ไกล แม้ว่าเราจะยังคงใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดต่อไป เนื่องจากเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่อธิบายพื้นที่ของเราในระดับท้องถิ่นได้ง่ายที่สุด การค้นพบ ของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดมีความชัดเจนตราบเท่าที่มันหมายถึงการเปลี่ยนแปลงที่รุนแรงของการทำความเข้าใจในความจริง ทางวิทยาศาสตร์

ก่อนหน้านั้น เรขาคณิตแบบยุคลิดคิดว่าจะอธิบายพื้นที่ได้อย่างแท้จริง เมื่อพิสูจน์ความเป็นไปได้ของการอธิบายมันผ่านเรขาคณิตอื่น ด้วยสัจพจน์อื่น จำเป็นต้องคิดทบทวนเกณฑ์ใหม่ ซึ่งเป็นไปได้ที่จะสันนิษฐานว่าคำอธิบายอย่างใดอย่างหนึ่งเช่น "จริง”.

บรรณานุกรม

มาร์ติเนซ ลอร์ก้า, เอ. (1980) “จริยธรรมของโสกราตีสและอิทธิพลที่มีต่อ คิด ภาคตะวันตก” ใน Revista Baética: Estudios de Arte, ภูมิศาสตร์ และประวัติศาสตร์, 3, 317-334. มหาวิทยาลัยมาลากา.

หัวข้อในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด