คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ลำดับของตัวเลข \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าเริ่มจากวินาที แต่ละองค์ประกอบได้มาจากการคูณของก่อนหน้าด้วยตัวเลข \(r\ne 0\) นั่นคือ ถ้า:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
ที่ไหน:
- จำนวน \(r\) เรียกว่าอัตราส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
- องค์ประกอบ \({{a}_{1}}\) เรียกว่าองค์ประกอบแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

องค์ประกอบของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบแรกและอัตราส่วน นั่นคือ:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} {{r}^{3}}\)

เป็นสี่องค์ประกอบแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต โดยทั่วไป องค์ประกอบ \(k-\)th จะแสดงดังนี้:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

เมื่อ \({{a}_{1}}\ne 0,~\) ของนิพจน์ก่อนหน้า เราได้รับ:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

นิพจน์ข้างต้นเทียบเท่ากับ:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

ตัวอย่าง/แบบฝึกหัด 1. ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​และค้นหาองค์ประกอบ \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

สารละลาย

เนื่องจาก \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) เราสามารถสรุปได้ว่าอัตราส่วนคือ:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

ตัวอย่าง/แบบฝึกหัด 2. ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต เรามี: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\) กำหนดอัตราส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและเขียน 5 องค์ประกอบแรก

สารละลาย

น่าเหนื่อยหน่าย

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

เพื่อค้นหา 5 องค์ประกอบแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เราจะคำนวณ \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

5 องค์ประกอบแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

ตัวอย่าง/แบบฝึกหัด 3. กระจกบาง ๆ ดูดซับแสงแดด 2% ที่ผ่านเข้ามา

ถึง. แว่นบางๆ 10 อันนั้นแสงจะผ่านเข้าไปได้กี่เปอร์เซ็นต์?

ข. แว่นบางๆ 20 เปอร์เซนต์ของแสงจะผ่านเข้าไปได้กี่เปอร์เซ็นต์?

ค. กำหนดเปอร์เซ็นต์ของแสงที่ส่องผ่าน \(n\) แก้วบาง ๆ ที่มีลักษณะเดียวกัน วางเรียงกัน

สารละลาย

เราจะแสดงด้วย 1 แสงทั้งหมด; โดยการดูดซับแสง 2% จากนั้นแสง 98% จะผ่านกระจก

เราจะแทนด้วย \({{a}_{n}}\) เปอร์เซ็นต์ของแสงที่ผ่านกระจก \(n\)

\({{a}_{1}}=0.98,~{{a}_{2}}=0.98\left( 0.98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0.98 \right)}^{2}}\left( 0.98 \right),\)

โดยทั่วไป \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

ถึง. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); ซึ่งบอกเราว่าหลังจากแก้ว 10 แสงผ่าน 81.707%

ข. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); ซึ่งบอกเราว่าหลังแก้ว 20 ผ่านไป 66.761%

ผลรวมขององค์ประกอบ \(n\) ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

เมื่อ \(r\ne 1\) เป็นผลรวมขององค์ประกอบ \(n\) แรก ผลรวม:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

สามารถคำนวณได้ด้วย

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

ตัวอย่าง/แบบฝึกหัด 4. จากตัวอย่างที่ 2 คำนวณ \({{S}_{33}}\)

สารละลาย

ในกรณีนี้ \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) และ \(r=-4\)

การสมัคร

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

ตัวอย่าง/แบบฝึกหัด 5. สมมติว่ามีคนอัปโหลดรูปถ่ายสัตว์เลี้ยงของตนและแบ่งปันกับเพื่อน 3 คนบนเครือข่ายสังคมอินเทอร์เน็ต และในแต่ละชั่วโมง พวกเขาแชร์ภาพกับอีกสามคน และหลังจากนั้นอีกหนึ่งชั่วโมง แต่ละคนก็แชร์ภาพกับอีก 3 คน ประชากร; และมันก็ดำเนินต่อไป แต่ละคนที่ได้รับภาพจะแบ่งปันกับคนอื่นอีก 3 คนภายในหนึ่งชั่วโมง ใน 15 ชั่วโมง มีคนถ่ายรูปไปแล้วกี่คน?

สารละลาย

ตารางต่อไปนี้แสดงการคำนวณครั้งแรก
เวลา คนที่ได้รับรูปถ่าย คนที่มีรูปถ่าย
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

จำนวนผู้ที่ได้รับภาพถ่ายในหนึ่งชั่วโมง \(n\) เท่ากับ: \({{3}^{n}}\)

จำนวนผู้ที่มีรูปถ่ายแล้วในหนึ่งชั่วโมงเท่ากับ:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

การสมัคร

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

ด้วย \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) และ \(n=15\)

โดย:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

หมายถึงทางเรขาคณิต

ให้ตัวเลขสองตัว \(a~\) และ \(b,\) ตัวเลข \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) เรียกว่า \(k\) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข \(a~\) และ \(b\); ถ้าลำดับ \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

หากต้องการทราบค่าของ \(k\) ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของตัวเลข \(a~\) และ \(b\) ก็เพียงพอที่จะทราบอัตราส่วนของความก้าวหน้าทางเลขคณิต สำหรับสิ่งนี้จะต้องพิจารณาสิ่งต่อไปนี้:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

จากข้างต้นเราสร้างความสัมพันธ์:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

การแก้หา \(d\) เราได้:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

ตัวอย่าง/แบบฝึกหัด 6. ค้นหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิต 2 ค่าระหว่างตัวเลข -15 และ 1875

สารละลาย

เมื่อสมัคร

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

ด้วย \(b=375,~a=-15\) และ \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตคือ:

\(75,-375\)

ตัวอย่าง/แบบฝึกหัด 7. คนลงทุนเงินและได้รับดอกเบี้ยทุกเดือนเป็นเวลา 6 เดือน และทุนของเขาเพิ่มขึ้น 10% สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยไม่เปลี่ยนแปลง อัตราดอกเบี้ยต่อเดือนคืออะไร?

สารละลาย

ให้ \(C\) เป็นเงินลงทุน ทุนสุดท้ายคือ \(1.1C\); ในการแก้ปัญหาเราต้องวาง 5 วิธีทางเรขาคณิตโดยใช้สูตร:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

ด้วย \(k=5,~b=1.1C\) และ \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

อัตรารายเดือนที่ได้รับคือ \(1.6%\)