นิยามสมการกำลังสอง / ควอร์ติก

สมการดีกรีสอง หรือ ล้มเหลว สมการกำลังสองที่เกี่ยวกับสิ่งที่ไม่รู้จัก จะแสดงในรูปแบบ:
\(ก{x^2} + bx + c = 0\)
โดยที่สิ่งที่ไม่รู้คือ \(x\) ตราบใดที่ \(a, b\) และ c เป็นค่าคงที่จริง โดยที่ \(a \ne 0.\)

มีหลายเทคนิคในการแก้สมการกำลังสอง รวมทั้งการแยกตัวประกอบ ซึ่งในกรณีนี้เราต้องคำนึงถึงคุณสมบัติต่อไปนี้ตามความละเอียด:

หากผลคูณของตัวเลขสองตัวเป็นศูนย์ มีความเป็นไปได้สองประการ:

1. ทั้งคู่มีค่าเท่ากับศูนย์
2. หากค่าใดค่าหนึ่งไม่เป็นศูนย์ ค่าอื่นจะเป็นศูนย์

ข้างต้นสามารถแสดงได้ดังนี้:
ถ้า \(pq = 0\) แล้ว \(p = 0\) หรือ \(q = 0\)

ตัวอย่างจริง 1: แก้สมการ \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	สถานการณ์เริ่มต้น
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	เพิ่ม 8 ทั้งสองข้างของสมการเพื่อแก้หา \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	ได้รับรากที่สองโดยมองหาการแยก \(x.\) 8 เป็นตัวประกอบและใช้คุณสมบัติของอนุมูลและกำลัง
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	คุณได้รับรากของ \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

คำตอบของ \({x^2} – 8\)=0 คือ:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

ตัวอย่างจริง 2: แก้สมการ \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	สถานการณ์เริ่มต้น
\({x^2} – {12^2} = 0\)	รากที่สองของ 144 คือ 12 มีการระบุความแตกต่างของกำลังสอง
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	ผลต่างของกำลังสองจะแยกตัวประกอบ
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	เราพิจารณาความเป็นไปได้ที่ตัวประกอบ \(x + 12\) เท่ากับ 0 แก้สมการที่ได้
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	เราพิจารณาความเป็นไปได้ที่ตัวประกอบ \(x – 12\) เท่ากับ 0 แก้สมการที่ได้

คำตอบของสมการ \({x^2} – 144 = 0\) คือ

\(x = – 12,\;12\)

ตัวอย่างจริง 3: แก้สมการ \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	สถานการณ์เริ่มต้น
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) ถูกระบุว่าเป็นตัวประกอบร่วมและดำเนินการแยกตัวประกอบ
\(x = 0\)	พิจารณาความเป็นไปได้ที่ตัวประกอบ \(x\) เท่ากับ 0
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	เราพิจารณาความเป็นไปได้ที่ตัวประกอบ \(x – 12\) เท่ากับ 0 แก้สมการที่ได้

คำตอบของสมการ \({x^2} + 3x = 0\) คือ:
\(x = – 3.0\)

ตัวอย่างจริง 4: แก้สมการ \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	สถานการณ์เริ่มต้น
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	รากที่สองของ 49 คือ 7 และ \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) มีการระบุทริโนเมียลกำลังสองสมบูรณ์
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์แสดงเป็นทวินามกำลังสอง
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

คำตอบของ \({x^2} – 14x + 49 = 0\) คือ:
\(x = 7\)

ตัวอย่างจริง 5: แก้สมการ \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	สถานการณ์เริ่มต้น
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	ผลิตภัณฑ์ \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	ซึ่งแสดงเป็น \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\left( {5x – 4} \right) – 3\left( {5x – 4} \right) = 0\)	ระบุ \(2x\) เป็นตัวประกอบร่วมในภาคผนวกแรกและแยกตัวประกอบ ระบุ \( – 3\) เป็นตัวประกอบร่วมในภาคผนวกที่สองและแยกตัวประกอบ
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	แยกตัวประกอบร่วม \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	เราพิจารณาความเป็นไปได้ที่ตัวประกอบ \(5x – 12\) เท่ากับ 0 แก้สมการที่ได้
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	พิจารณาความเป็นไปได้ที่ตัวประกอบ \(2x – 3\) เท่ากับ 0 แก้สมการที่ได้

คำตอบของ \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) คือ:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

ตัวอย่างจริง 6: แก้สมการ \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	สถานการณ์เริ่มต้น Trinomial ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	เพิ่ม -1 ในแต่ละด้านของสมการ
\({x^2} + 4x = – 1\)	เนื่องจาก \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) โดยการบวก \({2^2}\) เราจึงได้กำลังสองสมบูรณ์
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	เพิ่ม \({2^2}\;\) ในแต่ละด้านของสมการ ด้านซ้ายเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพอดี
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์แสดงเป็นทวินามกำลังสอง
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	หารากที่สองของแต่ละด้านของสมการ
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	แก้หา \(x\)

คำตอบของ \({x^2} + 4x + 1 = 0\) คือ:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

ตัวอย่างจริง 7: แก้สมการ \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	สถานการณ์เริ่มต้น Trinomial ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	เพิ่ม 1 ในแต่ละด้านของสมการ
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	คูณแต่ละด้านของสมการเพื่อให้สัมประสิทธิ์ของ \({x^2}\) เท่ากับ 1
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	มีการกระจายสินค้า ตั้งแต่ \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\) โดยเพิ่ม \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) ให้กำลังสองสมบูรณ์สามส่วน
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	เพิ่ม 3 ทั้งสองข้างของสมการเพื่อแก้หา \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	ทริโนเมียลกำลังสองสมบูรณ์แสดงเป็นทวินามกำลังสาม
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	หารากที่สองของแต่ละด้านของสมการ
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	แก้หา \(x\)

คำตอบของ \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) คือ:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

ขั้นตอนที่ใช้ในสมการข้างต้นจะใช้เพื่อค้นหาสิ่งที่เรียกว่าสูตรทั่วไปสำหรับคำตอบกำลังสอง

สูตรทั่วไปของสมการดีกรีสอง

สูตรทั่วไปของสมการกำลังสอง

ในส่วนนี้เราจะพบวิธีการแก้สมการกำลังสองโดยทั่วไป

ด้วย \(a \ne 0\) ให้เราพิจารณาสมการ \(a{x^2} + bx + c = 0\)

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

เนื่องจาก \(a \ne 0\) ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้ปัญหา:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	สถานการณ์เริ่มต้น
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	เพิ่ม \( – \frac{c}{a}\) ในแต่ละด้านของสมการ
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	ตั้งแต่ \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\) โดยเพิ่ม \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) ให้ผลกำลังสองสมบูรณ์
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} {{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	ด้านซ้ายมือของสมการคือทริโนเมียลกำลังสองสมบูรณ์
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ ก^2}}}\)	ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์แสดงเป็นทวินามกำลังสอง เศษส่วนพีชคณิตเสร็จแล้ว
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}ค}}{{4{a^2}}}} \)	หารากที่สองของแต่ละด้านของสมการ
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	ใช้คุณสมบัติที่รุนแรง
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	ใช้คุณสมบัติค่าสัมบูรณ์
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	ในแต่ละด้านของสมการ ให้เพิ่ม \( – \frac{b}{{2a}}\) เพื่อแก้หา \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	เศษส่วนพีชคณิตเสร็จแล้ว

เทอม \({b^2} – 4{a^2}c\) เรียกว่าการจำแนกสมการกำลังสอง \(a{x^2} + bx + c = 0\)

เมื่อการแยกแยะสมการข้างต้นเป็นลบ คำตอบจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนและไม่มีคำตอบที่แท้จริง โซลูชันที่ซับซ้อนจะไม่ครอบคลุมในบันทึกนี้

กำหนดสมการกำลังสอง \(a{x^2} + bx + c = 0\) ถ้า \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\) จากนั้นคำตอบของสมการนี้คือ:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

การแสดงออก:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

เรียกว่าสูตรทั่วไปของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างจริง 8: แก้สมการ \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(ถึง\)	\(ข\)	\(ค\)	เลือกปฏิบัติ	การแก้ปัญหาที่แท้จริง
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

คำตอบของสมการคือ:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

ตัวอย่างจริง 9: แก้สมการ \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(ถึง\)	\(ข\)	\(ค\)	เลือกปฏิบัติ	การแก้ปัญหาที่แท้จริง
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\ซ้าย( {17} \ขวา)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

คำตอบของสมการคือ:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

ตัวอย่างจริง 10: แก้สมการ \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(ถึง\)	\(ข\)	\(ค\)	เลือกปฏิบัติ	การแก้ปัญหาที่แท้จริง
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	ไม่ได้มี

สมการเบ็ดเตล็ด

มีสมการที่ไม่ใช่กำลังสองที่สามารถแปลงเป็นสมการกำลังสองได้ เราจะเห็น 2 กรณี

ตัวอย่างจริง 11: การหาผลเฉลยที่แท้จริงของสมการ \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

การเปลี่ยนแปลงตัวแปร \(y = \sqrt x \) สมการก่อนหน้ายังคงเป็น:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

ดังนั้น \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\)

เนื่องจาก \(\sqrt x \) แสดงเฉพาะค่าบวก เราจึงพิจารณาเฉพาะ:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

คำตอบ:

ทางออกเดียวที่แท้จริงคือ:
\(x = \frac{1}{9}\)

ตัวอย่างการทำงาน 12: แก้สมการ \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

ทำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

เราได้สมการ:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

ค่าที่เป็นไปได้ของ \(y\) คือ:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

จากข้างต้นเราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาในเชิงบวกเท่านั้น

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

คำตอบคือ \(x = 9.\)