ความหมายของหลักการ/สมการของเบอร์นูลลี

หลักการของเบอร์นูลลี หรือที่มักเรียกกันว่าสมการเบอร์นูลลี เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในอุทกพลศาสตร์และกลศาสตร์ของไหล มันถูกคิดค้นขึ้นโดยนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อ Daniel Bernoulli ในปี 1738 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของงานของเขา "อุทกพลศาสตร์” และเป็นส่วนหนึ่งของการอนุรักษ์พลังงานในการเคลื่อนที่ของของไหลในอุดมคติ

ลองนึกภาพสถานการณ์ต่อไปนี้: เรามีสายยางซึ่งน้ำไหลผ่าน ซึ่งปล่อยสายยางด้วยความเร็วและแรงดันระดับหนึ่ง จากนั้นเราก็ใช้นิ้วปิดรูทางออกของท่อบางส่วน การทำเช่นนี้ทำให้เราเห็นว่าน้ำไหลออกมาด้วยความเร็วที่มากขึ้นได้อย่างไร นี่คือตัวอย่างของหลักการของ Bernoulli ในการดำเนินการ

ของเหลวในอุดมคติในการเคลื่อนไหว

หลักการของ Bernoulli ใช้กับของไหลอุดมคติที่กำลังเคลื่อนที่ ดังนั้นก่อนที่จะอธิบายหลักการนี้ต่อไป สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงสิ่งที่เราหมายถึงของไหลในอุดมคติ ของไหลในอุดมคติคือการทำให้ของไหลจริงง่ายขึ้น ซึ่งทำได้เพราะคำอธิบายของของไหล อุดมคตินั้นง่ายกว่าทางคณิตศาสตร์และให้ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์แก่เราซึ่งสามารถขยายไปยังกรณีของไหลได้ในภายหลัง จริง.

มีข้อสันนิษฐานสี่ข้อที่ทำขึ้นเพื่อพิจารณาของไหลในอุดมคติและทั้งหมดเกี่ยวข้องกับการไหล:

• การไหลแบบคงที่: การไหลแบบคงที่คือความเร็วที่ของไหลเคลื่อนที่เท่ากัน ณ จุดใดๆ ในอวกาศ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราถือว่าของไหลไม่เกิดการปั่นป่วน

• อัดตัวไม่ได้: ยังถือว่าของไหลในอุดมคติอัดตัวไม่ได้ นั่นคือมีความหนาแน่นคงที่ตลอดเวลา

• ความไม่หนืด: ความหนืดเป็นคุณสมบัติของของไหล ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว แสดงถึงความต้านทานที่ของไหลต่อต้านการเคลื่อนที่ ความหนืดอาจเปรียบได้กับแรงเสียดทานเชิงกล

• การไหลแบบไม่มีทิศทาง: ด้วยสมมติฐานนี้ เราอ้างถึงข้อเท็จจริงที่ว่าของไหลเคลื่อนที่ไม่ได้เคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบจุดใดๆ ของเส้นทางของมัน

ด้วยการตั้งสมมติฐานเหล่านี้และมีของไหลในอุดมคติ เราทำให้การรักษาทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นมาก และ เรายังรับประกันการอนุรักษ์พลังงานซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นสู่หลักการของ แบร์นูลลี.

อธิบายสมการของแบร์นูลลี

ให้เราพิจารณาของไหลในอุดมคติที่เคลื่อนที่ผ่านท่อดังแสดงในรูปต่อไปนี้:

ตอนนี้เราจะใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงานจลน์ซึ่งเป็นอีกวิธีหนึ่งในการแสดงกฎการอนุรักษ์พลังงาน สิ่งนี้บอกเราว่า:

\(W = {\rm{\เดลต้า }}K\)

โดยที่ \(W\) คืองานเชิงกลทั้งหมด และ \({\rm{\Delta }}K\) คือการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ระหว่างสองจุด ในระบบนี้ เรามีงานเชิงกลสองประเภท ประเภทหนึ่งทำโดยแรงโน้มถ่วงบนของไหล และอีกประเภทหนึ่งเกิดจากแรงดันของของไหล ให้ \({W_g}\) เป็นงานเชิงกลที่กระทำโดยแรงโน้มถ่วง และ \({W_p}\) เป็นงานเชิงกลที่กระทำโดยแรงกด เราสามารถพูดได้ว่า:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\เดลต้า }}K\)

เนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็นแรงอนุรักษ์ งานเชิงกลที่ทำได้จะเท่ากับความแตกต่างของพลังงานศักย์โน้มถ่วงระหว่างจุดสองจุด ความสูงเริ่มต้นที่พบของไหลคือ \({y_1}\) และความสูงสุดท้ายคือ \({y_2}\) ดังนั้นเราจึงมี:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

โดยที่ \({\rm{\Delta }}m\) คือส่วนของมวลของของไหลที่ผ่านจุดหนึ่ง และ \(g\) คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง เนื่องจากของไหลในอุดมคติไม่สามารถบีบอัดได้ ดังนั้น \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\) โดยที่ \(\rho \) คือความหนาแน่นของของเหลว และ \({\rm{\Delta }}V\) คือส่วนของปริมาตรที่ไหลผ่านจุดหนึ่งๆ แทนค่านี้ในสมการด้านบน เราจะได้:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

ให้เราพิจารณางานเชิงกลที่กระทำโดยความดันของของไหล ความดันคือแรงที่กระทำต่อหน่วยพื้นที่ นั่นคือ \(F = PA\) ในทางกลับกัน งานเชิงกลถูกกำหนดเป็น \(W = F{\rm{\Delta }}x\) โดยที่ \(F\) คือแรงที่กระทำ และ \({\rm{\Delta }}x\) คือการกระจัดในกรณีนี้บนแกน x ในบริบทนี้ เราสามารถคิดได้ว่า \({\rm{\Delta }}x\) เป็นความยาวของส่วนของของเหลวที่ไหลผ่านจุดหนึ่งๆ เมื่อรวมสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ \(W = PA{\rm{\Delta }}x\) เราสามารถทราบได้ว่า \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\) นั่นคือ มันคือส่วนของปริมาตรที่ไหลผ่านจุดนั้น ดังนั้นเราจึงได้ \(W = P{\rm{\Delta }}V\)

ที่จุดเริ่มต้น งานเชิงกลจะเสร็จสิ้นในระบบเท่ากับ \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) และที่จุดสิ้นสุด ระบบจะทำงานเชิงกลกับสภาพแวดล้อมเท่ากับ \({P_2}{\rm{\Delta }}วี\). งานเชิงกลเนื่องจากความดันของของไหลจะเป็นงานที่ทำกับระบบลบกับงานที่ทำกับสิ่งรอบข้าง กล่าวคือ:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\เดลต้า }}V\)

สุดท้าย ความแตกต่างของพลังงานจลน์ \({\rm{\Delta }}K\) จะเท่ากับพลังงานจลน์ที่จุดสิ้นสุดลบด้วยพลังงานจลน์ที่จุดเริ่มต้น นั่นคือ:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

จากข้างต้น เรารู้ว่า \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\) สมการข้างต้นจะเป็น:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

แทนผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับในสมการการอนุรักษ์พลังงาน จะได้ว่า:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

เราสามารถแยกตัวประกอบเทอม \({\rm{\Delta }}V\) ทั้งสองด้านของสมการ ซึ่งนำไปสู่:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \ขวา)\)

การพัฒนาผลิตภัณฑ์ที่ขาดหายไป เราต้อง:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

การจัดเรียงเงื่อนไขทั้งหมดบนทั้งสองด้านของสมการใหม่ทำให้เราได้:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

สมการนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้ายของระบบของเรา ในที่สุดเราก็สามารถพูดได้ว่า:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = ค่าคงที่\)

สมการสุดท้ายนี้คือสมการเบอร์นูลลีซึ่งได้หลักการมาจาก หลักการของเบอร์นูลลีเป็นกฎการอนุรักษ์สำหรับของไหลในอุดมคติที่กำลังเคลื่อนที่

อ้างอิง

เดวิด ฮัลลิเดย์, โรเบิร์ต เรสนิค และ เจียร์ล วอล์กเกอร์ (2011). พื้นฐานของฟิสิกส์ สหรัฐอเมริกา: John Wiley & Sons, Inc.