Radikallerin Rasyonalizasyonunun Tanımı (matematik)

Radikallerin rasyonalizasyonu, paydada radikaller veya kökler bulunan bir bölüm olduğunda gerçekleştirilen matematiksel bir işlemdir. Bu şekilde, radikallere sahip bölümlerin ve diğer matematiksel nesne türlerinin dahil olduğu matematiksel işlemler kolaylaştırılabilir.

Radikalli Bölüm Türleri

Rasyonelleştirilebilen radikallerle bazı bölüm türlerinden bahsetmek önemlidir. Bununla birlikte, düzene sokma sürecine tam olarak girmeden önce, birkaç önemli kavramın hatırlanması gerekir. İlk olarak, şu ifadeye sahip olduğumuzu varsayalım: \(\sqrt[m]{n}\). Bu, \(n\) sayısının kökü \(m\), yani söz konusu işlemin sonucu öyle bir sayıdır ki, onu \(m\) kuvvetine yükseltmek bize \(n\) sayısını verir. sonuç olarak). Kuvvet ve kök ters işlemlerdir, öyle ki: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Öte yandan, iki eşit kökün çarpımının, çarpımın köküne eşit olduğunu belirtmekte fayda var, yani: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Bu iki özellik, rasyonelleştirirken en iyi müttefiklerimiz olacak.

Bulabildiğimiz bir radikal ile en yaygın ve basit bölüm türü şudur:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

\(a\), \(b\) ve \(c\) herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu durumda rasyonalizasyon süreci, bölümde radikalden kurtulmak için \(\sqrt {{c^2}} = c\) ifadesini elde etmenin bir yolunu bulmaktan ibarettir. Bu durumda hem pay hem de paydayı \(\sqrt c \) ile çarpmak yeterlidir:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Yukarıda bahsedilenleri hatırlayarak, \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\) olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, sonunda şunu elde ederiz:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Bu şekilde önceki ifadeyi rasyonelleştirdik. Bu ifade, aşağıdaki genel ifadenin belirli bir durumundan başka bir şey değildir:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

\(a\), \(b\), \(c\) herhangi bir gerçek sayı ve \(n\), \(m\) pozitif güçtür. Bu ifadenin rasyonelleştirilmesi öncekiyle aynı prensibe dayanmaktadır, yani paydada \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) ifadesini elde edin. Bunu hem pay hem de paydayı \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) ile çarparak elde edebiliriz:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Paydadaki radikallerin çarpımını şu şekilde geliştirebiliriz: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Bu nedenle, rasyonelleştirilmiş bölüm şu şekilde kalır:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n –) M}}}}\)

Rasyonelleştirilebilen radikallerle ilgili başka bir bölüm türü, paydasında karekökleri olan bir binomumuz olan bölümdür:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

\(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ve \(e\;\) herhangi bir gerçek sayıdır. \( ± \) sembolü, işaretin pozitif veya negatif olabileceğini gösterir. Payda iki terimlisinin her iki kökü veya yalnızca bir kökü olabilir, ancak bu durumu daha genel bir sonuç elde etmek için kullanıyoruz. Bu durumda rasyonalizasyon sürecini gerçekleştirmeye yönelik ana fikir, önceki durumlardaki ile aynıdır, yalnızca bu durumda hem pay hem de paydayı iki terimlinin eşleniği ile çarpacağız. payda. Bir iki terimlinin eşleniği, aynı terimlere sahip olan, ancak merkezi sembolü orijinal iki terimlinin karşısında olan bir iki terimlidir. Örneğin, \(ux + vy\) iki terimlisinin eşleniği \(ux – vy\) şeklindedir. Bununla birlikte, elimizde:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \sağ)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \sağ)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \sağ)}}\)

\( \mp \) sembolü, işaretin pozitif veya negatif olabileceğini belirtir, ancak iki terimlilerin eşlenik olabilmesi için payda sembolünün karşısında olması gerekir. Paydanın iki terimlilerinin çarpımını geliştirerek şunu elde ederiz:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \sağ)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Sonunda şunu anladık:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \sağ)\)

Bununla bölümü radikal ile rasyonelleştirdik. Radikalleri olan bu bölümler, genel olarak rasyonelleştirilebilenlerdir. Daha sonra, radikallerin rasyonalizasyonuna ilişkin bazı örnekler göreceğiz.

örnekler

Yukarıda belirtilen türden radikallere sahip bölümlerle bazı rasyonalizasyon örneklerine bakalım. İlk önce aşağıdaki bölüme sahip olduğumuzu varsayalım:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Bu durumda pay ve paydayı \(\sqrt 2 \) ile çarpmak yeterlidir.

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Şimdi, radikal ile aşağıdaki bölüme sahip olduğumuzu varsayalım:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

Bu durumda, bir kübik gücün altıncı köküne sahibiz. Bir önceki bölümde, eğer denklemde \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) biçiminde bir kökümüz varsa bundan bahsetmiştik. payda, pay ve paydayı \(\sqrt[n]{{{c^{n) ile çarparak bölümü rasyonel hale getirebiliriz -M}}}}\). Bunu burada sunulan durumla karşılaştırarak, \(n = 6\), \(c = 4\) ve \(m = 3\) olduğunu anlayabiliriz, dolayısıyla Bu nedenle, pay ve paydayı şu şekilde çarparak önceki bölümü rasyonalize edebiliriz: \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Son olarak, aşağıdaki işleve sahip olduğumuzu varsayalım:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Önceki bölümde gösterildiği gibi, bu tür bir bölümü radikallerle rasyonalize etmek için pay ve paydayı paydanın eşleniğiyle çarpmanız gerekir. Bu durumda paydanın eşleniği \(x – \sqrt x \) olacaktır. Bu nedenle, ifade aşağıdaki gibi olacaktır:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \sağ)\left( {x – \sqrt x } \sağ)}}\left( {x – \sqrt x } \sağ)\)

Paydanın eşlenik iki terimlilerinin çarpımını geliştirerek, sonunda şunu elde ederiz:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referanslar

Aguilar Arturo, Bravo Fabian, Gallegos Herman, Cerón Miguel ve Reyes Ricardo. (2009). Aritmetik. Meksika: Pearson Eğitimi.