Bernoulli Prensibinin/Denkleminin Tanımı

Genellikle Bernoulli Denklemi olarak da adlandırılan Bernoulli Prensibi, hidrodinamik ve akışkanlar mekaniğinin en önemli kavramlarından biridir. İsviçreli fizikçi ve matematikçi Daniel Bernoulli tarafından 1738'de "çalışmasının bir parçası olarak formüle edildi."hidrodinamik”ve hareket halindeki ideal bir sıvıda enerjinin korunumunun bir parçası.

Şu durumu düşünelim: İçinden su akan, belli bir hız ve belli bir basınçla hortumu terk eden bir hortumumuz var. Ardından hortumun çıkış deliğini parmağımızla kısmen kapatmaya geçiyoruz; bunu yaparak suyun şimdi nasıl daha hızlı çıktığını görüyoruz. Bu, Bernoulli'nin eylem ilkesinin bir örneğidir.

Hareket halindeki ideal akışkanlar

Bernoulli ilkesi hareket halindeki ideal sıvılar için geçerlidir, bu nedenle bu ilkeyi açıklamaya geçmeden önce ideal sıvı ile ne kastettiğimizi belirtmek önemlidir. İdeal bir sıvı, gerçek bir sıvının basitleştirilmesidir, bu, bir sıvının tanımı nedeniyle yapılır. ideal matematiksel olarak daha basittir ve bize daha sonra akışkan duruma genişletilebilecek yararlı sonuçlar verir. gerçek.

Bir sıvıyı ideal olarak kabul etmek için yapılan dört varsayım vardır ve bunların tümü akışla ilgilidir:

• Sabit akış: Sabit akış, sıvının uzayda herhangi bir noktada hareket ettiği hızın aynı olduğu akıştır. Başka bir deyişle, akışkanın türbülansa uğramadığını varsayıyoruz.

• Sıkıştırılamazlık: Ayrıca ideal bir akışkanın sıkıştırılamaz olduğu, yani her zaman sabit bir yoğunluğa sahip olduğu varsayılır.

• Viskozitesizlik: Viskozite, genel anlamda sıvının harekete karşı koyduğu direnci temsil eden sıvıların bir özelliğidir. Viskozite, mekanik sürtünmeye benzer olarak düşünülebilir.

• Dönmeyen akış: Bu varsayımla, hareket eden sıvının yolunun herhangi bir noktasında herhangi bir dairesel hareket gerçekleştirmediğini kastediyoruz.

Bu varsayımları yaparak ve ideal bir sıvıya sahip olarak, matematiksel işlemi büyük ölçüde basitleştiririz ve prensibinin çıkış noktası olan enerjinin korunumunu da sağlıyoruz. Bernoulli.

Bernoulli denklemi açıklandı

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir boru içerisinde hareket eden ideal bir sıvıyı ele alalım:

Şimdi Enerjinin Korunumu Yasasını ifade etmenin başka bir yolu olan İş ve Kinetik Enerji Teoremini kullanacağız, bu bize şunu söyler:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

\(W\) toplam mekanik iş ve \({\rm{\Delta }}K\) iki nokta arasındaki kinetik enerjideki değişimdir. Bu sistemde, biri sıvı üzerindeki yerçekimi kuvvetiyle, diğeri sıvının basıncından kaynaklanan iki tür mekanik çalışmamız var. \({W_g}\) yer çekiminin yaptığı mekanik iş ve \({W_p}\) basıncın yaptığı mekanik iş olsun, o zaman şunu söyleyebiliriz:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Yerçekimi korunumlu bir kuvvet olduğundan, yaptığı mekanik iş, iki nokta arasındaki yerçekimi potansiyel enerjisi farkına eşit olacaktır. Sıvının bulunduğu ilk yükseklik \({y_1}\) ve son yükseklik \({y_2}\)'dir, bu nedenle elimizde:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \sağ )\)

Burada \({\rm{\Delta }}m\) sıvının belirli bir noktadan geçen kütlesidir ve \(g\) yerçekiminden kaynaklanan ivmedir. İdeal sıvı sıkıştırılamaz olduğundan, o zaman \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). \(\rho \) sıvının yoğunluğu ve \({\rm{\Delta }}V\) hacmin bir noktadan akan kısmıdır. Bunu yukarıdaki denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \sağ)\)

Şimdi sıvı basıncının yaptığı mekanik işi ele alalım. Basınç, birim alana uygulanan kuvvettir, yani \(F = PA\). Öte yandan, mekanik iş \(W = F{\rm{\Delta }}x\) olarak tanımlanır, burada \(F\) uygulanan kuvvettir ve \({\rm{\Delta }}x\) bu durumda x ekseni üzerinde gerçekleştirilen yer değiştirmedir. Bu bağlamda \({\rm{\Delta }}x\)'i sıvının belirli bir noktadan geçen kısmının uzunluğu olarak düşünebiliriz. Her iki denklemi birleştirerek şunu elde ederiz: \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), yani hacmin o noktadan geçen kısmı olduğunu fark edebiliriz. Bu nedenle, bu \(W = P{\rm{\Delta }}V\)'ye sahibiz.

Başlangıç ​​noktasında, sistem üzerinde \({P_1}{\rm{\Delta }}V\)'ye eşit mekanik iş yapılır. ve bitiş noktasında sistem çevre üzerinde \({P_2}{\rm{\Delta)'ya eşit mekanik iş yapar. }}V\). Akışkanın basıncından kaynaklanan mekanik iş, sistem üzerinde yapılan iş eksi çevre üzerinde yaptığı iş olacaktır, yani:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \sağ){\rm {\Delta}}V\)

Son olarak, kinetik enerjideki fark \({\rm{\Delta }}K\), bitiş noktasındaki kinetik enerji eksi başlangıç ​​noktasındaki kinetik enerjiye eşit olacaktır. Yani:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \sağ)\)

Yukarıdakilerden, \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\) olduğunu biliyoruz. Yukarıdaki denklem şu şekildedir:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \sağ)\)

Enerji korunumu denkleminde elde edilen tüm sonuçları değiştirerek, şu elde edilir:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \sağ){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \sağ) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \sağ)\)

Denklemin her iki tarafında \({\rm{\Delta }}V\) terimini çarpanlarına ayırabiliriz, bu şuna yol açar:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \sağ) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \Sağ)\)

Eksik ürünleri geliştirmek için yapmamız gerekenler:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri yeniden düzenleyerek şunu elde ederiz:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Bu denklem, sistemimizin ilk durumu ile son durumu arasındaki bir ilişkidir. Son olarak şunu söyleyebiliriz:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = sabit\)

Bu son denklem, ilkesinin türetildiği Bernoulli Denklemidir. Bernoulli İlkesi, hareket halindeki ideal bir sıvı için bir koruma yasasıdır.

Referanslar

David Halliday, Robert Resnick ve Jearl Walker. (2011). Fiziğin Temelleri. Amerika Birleşik Devletleri: John Wiley & Sons, Inc.