Визначення змішаних, одиничних, однорідних і неоднорідних фракцій

змішаний. Змішаний дріб складається з цілого числа, більшого або рівного одиниці, і правильного дробу, загальний варіант написання дробу змішаний має форму: \(a + \frac{c}{d},\), компактний запис якого: \(a\frac{c}{d},\;\), тобто: \(a\ частка{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Число \(a\) називається цілою частиною мішаного дробу, а \(\frac{c}{d}\) — його дробовою частиною.

однорідний. Якщо два або більше дробів мають однаковий знаменник, вони називаються схожими дробами. Наприклад, дроби \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) є однорідними, оскільки всі вони мають однаковий знаменник, який у цьому випадку дорівнює \(4\). Тоді як дроби \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) ні однорідні дроби, оскільки знаменник \(\frac{5}{2}\) дорівнює \(2\), а знаменник інших дробів є \(4\). Однією з переваг однорідних дробів є те, що арифметичні дії додавання і віднімання функцій дуже прості.

неоднорідний. Якщо два або більше дробів, хоча б два з них не мають однакового знаменника, то ці дроби називають неоднорідними. Неоднорідними є такі дроби: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

унітарний. Дріб вважається одиницею, якщо чисельник дорівнює 1 \(1,\) \(2\). Наступні дроби є прикладами одиничних дробів: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Словесне вираження мішаного дробу

змішана фракція	Словесне вираження
\(3\frac{1}{2} = \)	Три з половиною цілих
\(5\frac{3}{4} = \)	П'ять цілих і три чверті
\(10\frac{1}{8} = \)	Десять цілих чисел з восьмою

Перетворення мішаного дробу в неправильний

Змішані дроби корисні для оцінки, наприклад, легко встановити:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Однак змішані дроби зазвичай непрактичні для виконання таких операцій, як множення та ділення, тому важливо, як перетворити на змішаний дріб.

Попередній малюнок представляє змішаний дріб \(2\frac{3}{4}\), тепер кожне ціле число складається з чотири чверті, отже, у 2 цілих числах є 8 чвертей, і до них ми повинні додати інші 3 чверті, тобто казати:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Загалом:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

У наступній таблиці показано інші приклади.

змішана фракція	Операції для виконання	неправильний дріб
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\ліворуч( 2 \праворуч) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\ліворуч( 4 \праворуч) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\фрак{1}{8}\)	\(\frac{{10\ліворуч( 8 \праворуч) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Перетворення неправильного дробу в мішаний

Щоб перетворити неправильний дріб у змішаний, обчисліть частку та залишок від ділення чисельника на знаменник. Отримана частка буде цілою частиною змішаного дробу, а правильний дріб буде \(\frac{{{\rm{залишок}}}}{{{\rm{знаменник}}}}\)

приклад

Щоб перетворити \(\frac{{25}}{7}\) на змішаний дріб:

За проведені операції отримуємо:

У таблиці нижче показано інші приклади.

неправильний дріб	Обчислення частки та остачі	неправильний дріб
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Повсякденне використання мішаних і правильних дробів

У повсякденному житті нам потрібно вимірювати, купувати, порівнювати ціни, пропонувати знижки; для вимірювання нам потрібні одиниці вимірювання, і вони не завжди пропонують цілі одиниці продукції, і ви не завжди платите цілою кількістю монет за одиницю.

Наприклад, зазвичай певні рідини продаються в контейнерах, вміст яких становить \(\frac{3}{4}\;\) літр, півгалона або півтора галона. Можливо, коли ви йдете купувати трубку, ви просите \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\), і вам не потрібно називати одиницю вимірювання, якою в даному випадку є дюйм.

Основні дії над однорідними дробами

Сума \(\frac{3}{4}\) і \(\frac{2}{4}\) проілюстрована такою схемою:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Тоді як віднімання виконується так:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

У загальному випадку для однорідних дробів:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{{a – b}}{d}\)

Єгиптяни і одиничні дроби

Єгипетська культура досягла надзвичайного технологічного розвитку, і цього не сталося б без розвитку нарівні з математикою. Існують історичні сліди, де можна знайти записи про використання дробів у єгипетській культурі, зокрема, вони використовували лише унітарні дроби.

Є кілька випадків, коли записати дріб як суму одиничних дробів так само просто

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

У випадку, коли \(n = 2q + 1\), тобто непарне, ми маємо, що:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Проілюструємо це двома прикладами.

Виразити \(\frac{2}{{11}}\); у цьому випадку ми маємо \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), тому:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

тобто,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Виразити \(\frac{2}{{17}}\); у цьому випадку ми маємо \(17 = 2\ліворуч( 8 \праворуч) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Далі ми показуємо деякі дроби як суму одиничних дробів,

дріб	Вираз у вигляді суми одиничних дробів	дріб	Вираз у вигляді суми одиничних дробів
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Користуючись попередньою таблицею, ми можемо складати дроби та виражати такі суми; як суму одиничних часток.

Приклади неоднорідних дробів

Приклад 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \праворуч)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \праворуч) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Приклад 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \праворуч)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Нарешті, ми можемо виразити той самий дріб як суму одиничних дробів іншим способом:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)