Квадратне/четверте рівняння

Рівняння другого ступеня або, якщо його немає, квадратне, відносно невідомого, виражається у вигляді:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Де невідомим є \(x\), якщо \(a, b\) і c є дійсними константами, з \(a \ne 0.\)

Існує кілька методів розв’язування квадратних рівнянь, у тому числі розкладання на множники, у цьому випадку ми повинні враховувати таку властивість відповідно до резолюції:

Якщо добуток двох чисел дорівнює нулю, то є дві можливості:

1. Обидва дорівнюють нулю.
2. Якщо один відмінний від нуля, то інший дорівнює нулю

Вищесказане можна виразити наступним чином:
Якщо \(pq = 0\), то \(p = 0\) або \(q = 0\).

Практичний приклад 1: розв’язати рівняння \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Вихідна ситуація
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Додайте 8 до обох сторін рівняння, щоб розв’язати \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Квадратний корінь отримують, шукаючи ізоляції \(x.\) 8 розкладено на множники та застосовано властивості радикалів і степенів.
\(\ліворуч| x \праворуч| = 2\sqrt 2 \)	Ви отримуєте корінь \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Розв’язками \({x^2} – 8\)=0 є:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Практичний приклад 2: розв’яжіть рівняння \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Вихідна ситуація
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Квадратний корінь із 144 дорівнює 12. Виявлено різницю квадратів.
\(\ліворуч( {x + 12} \праворуч)\ліворуч( {x – 12} \праворуч) = 0\)	Різниця квадратів розкладається на множники
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Розглянемо можливість того, що множник \(x + 12\) дорівнює 0. Отримане рівняння розв’язано.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Розглянемо можливість того, що множник \(x – 12\) дорівнює 0. Отримане рівняння розв’язано.

Розв’язками рівняння \({x^2} – 144 = 0\) є

\(x = – 12,\;12\)

Практичний приклад 3: розв’яжіть рівняння \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Вихідна ситуація
\(x\ліворуч( {x + 3} \праворуч) = 0\)	\(x\) ідентифікується як спільний множник і виконується факторізація.
\(x = 0\)	Розглянемо можливість того, що коефіцієнт \(x\) дорівнює 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Розглянемо можливість того, що множник \(x – 12\) дорівнює 0. Отримане рівняння розв’язано.

Розв’язками рівняння \({x^2} + 3x = 0\) є:
\(x = – 3,0\)

Практичний приклад 4: розв’яжіть рівняння \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Вихідна ситуація
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Квадратний корінь із 49 дорівнює 7 і \(2x\ліворуч( 7 \праворуч) = 14x.\) Ідентифіковано тричлен ідеального квадрата.
\({\ліворуч( {x – 7} \праворуч)^2} = 0\)	Повний квадратний тричлен виражається як квадрат бінома.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Розв’язок \({x^2} – 14x + 49 = 0\) є:
\(x = 7\)

Практичний приклад 5: Розв’яжіть рівняння \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Вихідна ситуація
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Добуток \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\ліворуч( {10{x^2} – 8x} \праворуч) – 15x + 12 = 0\)	Він виражається як \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\ліворуч( {5x – 4} \справа) – 3\ліворуч( {5x – 4} \праворуч) = 0\)	Визначте \(2x\) як спільний множник у першому доданку та розкладіть його. Визначте \( – 3\) як спільний множник у другому доданку та розкладіть його на множники.
\(\ліворуч( {5x – 4} \праворуч)\ліворуч( {2x – 3} \праворуч) = 0\)	Розкладіть спільний дільник \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Ми розглядаємо можливість того, що коефіцієнт \(5x – 12\) дорівнює 0. Отримане рівняння розв’язано.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Розглянемо можливість того, що коефіцієнт \(2x – 3\) дорівнює 0. Отримане рівняння розв’язано.

Розв’язками \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) є:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Практичний приклад 6: розв’яжіть рівняння \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Вихідна ситуація Тричлен не є ідеальним квадратом
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Додайте -1 до кожної сторони рівняння.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Оскільки \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\), додаючи \({2^2}\), ми отримуємо ідеальний квадрат.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Додайте \({2^2}\;\) до кожної сторони рівняння. Ліва сторона - ідеальний квадрат.
\({\ліворуч( {x + 2} \праворуч)^2} = 3\)	Повний квадратний тричлен виражається як квадрат бінома.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Візьміть квадратний корінь з кожної сторони рівняння
\(\ліворуч| {x + 2} \праворуч| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Розв’яжіть \(x\).

Розв’язками \({x^2} + 4x + 1 = 0\) є:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Практичний приклад 7: Розв’яжіть рівняння \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Вихідна ситуація Тричлен не є ідеальним квадратом.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Додайте 1 до кожної сторони рівняння
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Помножте на кожну сторону рівняння так, щоб коефіцієнт \({x^2}\) дорівнював 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	продукт розповсюджується Оскільки \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\, шляхом додавання \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) дає тричлен повного квадрата.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Додайте 3 до обох сторін рівняння, щоб розв’язати \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{{29}}{{100}}\)	Ідеальний квадратний тричлен виражається як кубічний біном.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{29}}{{100}}} \ )	Візьміть квадратний корінь з кожної сторони рівняння
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Розв’яжіть \(x\).

Розв’язками \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) є:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Процедура, використана у наведеному вище рівнянні, буде використана для знаходження того, що називається загальною формулою для квадратичних розв’язків.

Загальна формула рівняння другого степеня.

Загальна формула квадратних рівнянь

У цьому розділі ми дізнаємося, як у загальному вигляді розв’язати квадратне рівняння

З \(a \ne 0\) розглянемо рівняння \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\ліворуч ({{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \праворуч) = 0\)

Оскільки \(a \ne 0\), достатньо розв'язати:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Вихідна ситуація
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Додайте \( – \frac{c}{a}\) до кожної сторони рівняння.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Оскільки \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), шляхом додавання \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) дає тричлен повного квадрата.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Ліва частина рівняння — тричлен повного квадрата.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Повний квадратний тричлен виражається як квадрат бінома. Алгебраїчний дріб готовий.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Візьміть квадратний корінь з кожної сторони рівняння.
\(\ліворуч| {x + \frac{b}{{2a}}} \праворуч| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Застосовуються радикальні властивості.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Застосовуються властивості абсолютного значення.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	До кожної сторони рівняння додайте \( – \frac{b}{{2a}}\), щоб розв’язати \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Алгебраїчний дріб готовий.

Член \({b^2} – 4{a^2}c\) називається дискримінантом квадратного рівняння \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Коли дискримінант наведеного вище рівняння від’ємний, розв’язки є комплексними числами, а дійсних розв’язків немає. Складні рішення не розглядатимуться в цій примітці.

Дано квадратне рівняння \(a{x^2} + bx + c = 0\), якщо \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Тоді розв’язками цього рівняння є:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Вираз:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Її називають загальною формулою квадратного рівняння.

Практичний приклад 8: розв’яжіть рівняння \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(до\)	\(b\)	\(c\)	Дискримінаційний	реальні рішення
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\ліворуч( 3 \праворуч)\ліворуч( { – 5} \праворуч) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Розв’язками рівняння є:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Практичний приклад 9: Розв’яжіть рівняння \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(до\)	\(b\)	\(c\)	Дискримінаційний	реальні рішення
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\ліворуч( { – 4} \праворуч)\ліворуч( 9 \праворуч) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\ліворуч( {17} \праворуч)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Розв’язками рівняння є:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Практичний приклад 10: Розв’яжіть рівняння \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(до\)	\(b\)	\(c\)	Дискримінаційний	реальні рішення
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Не має

Різні рівняння

Існують неквадратні рівняння, які можна перетворити на квадратне. Ми побачимо два випадки.

Практичний приклад 11: Знаходження дійсних розв’язків рівняння \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Змінюючи змінну \(y = \sqrt x \), попереднє рівняння залишається таким:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\ліворуч( {2y + 5} \справа) – \ліворуч( {2y + 5} \праворуч) = 0\)

\(\ліворуч( {2y + 5} \праворуч)\ліворуч( {3y – 1} \праворуч) = 0\)

Тому \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Оскільки \(\sqrt x \) позначає лише додатні значення, ми розглянемо лише:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

відповідь:

Єдине реальне рішення:
\(x = \frac{1}{9}\)

Відпрацьований приклад 12: розв’яжіть рівняння \(\sqrt {\frac{x}{{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Внесення змін до змінної:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Отримуємо рівняння:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\ліворуч( {2y – 3} \праворуч) + 2\ліворуч( {2y – 3} \праворуч) = 0\)

\(\зліва( {2y – 3} \справа)\зліва( {3y + 2} \праворуч) = 0\)

Можливі значення \(y\):

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

З перерахованого вище ми розглянемо лише позитивне рішення.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Рішення \(x = 9.\)