Визначення показникової функції

Експоненціальна функція моделює різноманітні природні явища та соціально-економічні ситуації, тому важливо ідентифікувати експоненціальні функції в різних контекстах.

Пам’ятаймо, що для числа \({a^1} = a, {a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) визначено, загалом ми маємо, що для будь-якого \(n\ ) натуральне число:

У випадку \(a \ne 0\), ми маємо, що: \({a^0} = 1,\;\) насправді, коли \(a \ne 0,\) має сенс виконати операцію \ (\frac{a}{a} = 1;\) при застосуванні закону степеня маємо:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Коли \(a = 0\), попередні міркування не мають сенсу, тому вираз \({0^0},\) не має математичної інтерпретації.

У випадку, коли \(b > 0\) і вірно, що \({b^n} = a,\), кажуть, що \(b\) є коренем n-го числа з \(a\) і зазвичай позначається як \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) або \(b = \sqrt[n]{a}\).

Коли \(a < 0\), не існує дійсного числа \(b\), такого, що \({b^2} = a;\), оскільки \({b^2} \ge 0;\;\ ), тому вирази форми \({a^{\frac{m}{n}}}\), не буде враховуватися для \(a < 0.\) У такому алгебраїчному виразі: \({a^n}\) \(a \ ) називається основою, а \(n\) — основою називається експонентою, \({a^n}\) називається степенем\(\;n\) \(a\) або також називається \(a\) у степені \(n,\;\)se дотримуватися наступних законів показників степеня:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) для кожного \(a \ne 0\)

Експоненціальна функція має вигляд:

\(f\ліворуч( x \праворуч) = {a^x}\)

де \(a > 0\) є константою, а незалежна змінна є показником \(x\).

Для аналізу показникової функції розглянемо три випадки

Випадок 1, коли основа \(a = 1.\)

У цьому випадку \(a = 1,\) функція \(f\left( x \right) = {a^x}\) є постійною функцією.

Випадок 2. Коли базис \(a > 1\)

У цьому випадку ми маємо наступне:

Значення \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Функція \(f\left( x \right) = {a^x}\) є строго зростаючою функцією, тобто якщо \({x_2} > {x_1}\), то:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\ліво( {{x_2}} \справа) > f\ліво( {{x_1}} \праворуч)\)

Коли явище моделюється експоненціальною функцією з \(a > 1\), ми говоримо, що воно демонструє експоненціальне зростання.

Випадок 2 Коли основа \(а < 1\).

Значення \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Коли \(a < 1\), функція \(f\left( x \right) = {a^x}\) є строго спадною функцією, тобто якщо \({x_2} > {x_1}\ ), так:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\ліво( {{x_2}} \справа) < f\ліво( {{x_1}} \праворуч) \) Коли явище є моделі з експоненціальною функцією, з \(a < 1\), ми говоримо, що вона представляє спад або зменшення експоненціальний. Наступний графік ілюструє поведінку \({a^x}\) у трьох різних випадках.

Застосування показникової функції

Приклад 1 Зростання населення

Ми позначатимемо \({P_0}\) початкову популяцію та \(r \ge 0\) швидкість зростання популяції, якщо швидкість популяції залишається постійною протягом часу; функція

\(P\ліворуч( t \справа) = {P_0}{\ліво({1 + r} \праворуч)^t};\)

Знайти населення в момент часу t.

Практичний приклад 1

Населення Мексики в 2021 році становить 126 мільйонів і демонструє щорічне зростання на 1,1%, Якщо це зростання збережеться, скільки населення буде в Мексиці в 2031 році 2021?

Рішення

У цьому випадку \({P_o} = 126\) і \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\), тому вам слід використовувати:

\(P\ліворуч( t \праворуч) = {P_0}{\ліворуч( {1 + .0011} \праворуч)^t}\)

У наступній таблиці показано результати

рік	витрачений час (\(t\))	Розрахунок	Населення (мільйони)
2021	0	\(P\ліво( t \справа) = 126{\ліво( {1,0011} \праворуч)^0}\)	126
2031	10	\(P\ліво( t \справа) = 126{\ліво( {1,0011} \праворуч)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\ліво( t \справа) = 126{\ліво( {1,0011} \праворуч)^{30}}\)	174.95

Приклад 2 Розрахунок складних відсотків

Банки пропонують річну процентну ставку, але реальна ставка залежить від того, на скільки місяців ви її інвестуєте; Наприклад, якщо вам пропонують річну процентну ставку r%, реальна місячна ставка становить \(\frac{r}{{12}}\)%, двомісячна ставка становить \(\frac{r}{6}\)%, квартальний — \(\frac{r}{4}\)%, квартальний — \(\frac{r}{3}\)%, а семестр — \(\frac{r}{2}\)%.

Практичний приклад 2

Припустімо, ви інвестуєте 10 000 у банк, і вони пропонують вам наступні річні процентні ставки:

Строкові депозити	Річна ставка	періодів у році	фактична ставка	Накопичені гроші за \(k\) місяців
два місяці	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\ліворуч( {1 + 0,00091667} \праворуч)^{\frac{k}{2}}}\)
три місяці	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\ліворуч( {1 + 0,00461667} \праворуч)^{\frac{k}{3}}}\)
шість місяців	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\ліворуч ({1 + 0,0078} \праворуч)^{\frac{k}{6}}}\)

Число \(e\), постійний і неперервний інтерес Ейлера.

Тепер припустімо, що у нас є початковий капітал \(C\), і ми інвестуємо його за фіксованою ставкою \(r > 0\), і ми ділимо рік на \(n\) періодів; накопичений за рік капітал дорівнює:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

Щоб проаналізувати, як поводиться накопичений капітал, коли \(n\), зростає, ми перепишемо накопичений капітал за один рік:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

роблячи \(m = \frac{n}{r}\), ми отримуємо:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

З ростом \(n\) зростає і \(m = \frac{n}{r}.\)

Коли \(m = \frac{n}{r},\) зростає, вираз \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) наближається до так званого Стала або число Ейлера:

\(e \приблизно 2,718281828 \lточок .\)

Стала Ейлера не має кінцевого або періодичного десяткового виразу.

Маємо такі наближення

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \приблизно C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \приблизно C{e^{rs}}.\)

До виразу:

\(A = \;C{e^r},\)

Ми можемо інтерпретувати це двома способами:

1.- Як максимальна сума, яку ми можемо накопичити за рік, коли ми інвестуємо капітал \(C,\;\) за річною ставкою \(r.\)

2.- Як суму, яку ми накопичили б за рік, якби наш капітал постійно реінвестувався за річною ставкою \(r.\)

\(T\ліворуч (s \праворуч) = \;C{e^{rs}},\)

це сума, накопичена, якщо \(s\) років інвестовано з постійними відсотками.

Конкретний приклад 3

Тепер ми повернемося до частини конкретного прикладу 2, де річна ставка становить 0,55% у два місяці. Обчисліть капітал, який накопичується, якщо початковий капітал становить 10 000 і реінвестується півроку, два роки, 28 місяців.

\(10{\ліворуч( {1,00091667} \праворуч)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

як показано в таблиці нижче, значення \(m = \frac{n}{r},\) не є «малим», а таблиця вище вказує, що \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) близька до сталої Ейлера.

час	Кількість періодів (\(k\))	Накопичений капітал, у тисячах, реінвестується кожні два місяці
Пів року	3	\(10{\ліворуч( {1,00091667} \праворуч)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Два роки	12	\(10{\ліворуч( {1,00091667} \праворуч)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 місяців	19	\(10{\ліворуч( {1,00091667} \праворуч)^{19}} = 10.\;175612\)

час	Час років (\(s\))	Накопичений капітал, в тисячах, інвестуйте з постійним відсотком
Пів року	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Два роки	\(s = 2\)	\(10{\left( {1,00091667} \right)^{0,0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 місяців	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\ліворуч( {1,00091667} \праворуч)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Приклад 2 Амортизація

Практичний приклад 1

Комп’ютер знецінюється на 30% щороку, якщо комп’ютер коштує 20 000 доларів США песо, визначте ціну комп’ютера за \(t = 1,12,\;14,\;38\) місяців.

У цьому випадку ми маємо:

\(P\ліворуч( t \праворуч) = 20000{\rm{\;}}{\ліворуч( {1 – 0,30} \праворуч)^t}\)

З \(t\) у роках, заміна \(t\) у наступній таблиці дає

час у місяцях	час у роках	розрахунки	Числове значення
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\ліво( t \справа) = 20000{\rm{\;}}{\ліво( {1 – .30} \праворуч)^{\frac{1}{{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\ліворуч( t \праворуч) = 20000{\rm{\;}}{\ліворуч( {1 – .30} \праворуч)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\ліво( t \справа) = 20000{\rm{\;}}{\ліво( {1 – .30} \праворуч)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\ліво( t \справа) = 20000{\rm{\;}}{\ліво( {1 – .30} \праворуч)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859