Визначення доцентрової сили

Доцентрова сила — це сила, яка діє на об’єкт, що рухається по криволінійній траєкторії. Ця сила завжди спрямована до центру кривої, і саме вона утримує об’єкт на цьому шляху, не даючи йому продовжувати рух по прямій лінії.

Криволінійний рух і доцентрова сила

Припустимо, у нас є об'єкт, що рухається по коловій траєкторії. Для опису криволінійного руху цього тіла використовуються кутова і лінійна змінні. Кутові змінні – це ті, які описують рух об’єкта в термінах кута, який він «змітає» вздовж свого шляху. З іншого боку, лінійні змінні - це ті, які використовують його положення відносно точки обертання та його швидкість у тангенціальному напрямку крива.

Доцентрове прискорення \({a_c}\), яке відчуває об’єкт, що рухається по траєкторії кругової з тангенціальною швидкістю \(v\) і на відстані \(r\) від точки обертання буде дається:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Доцентрове прискорення — це лінійна змінна, яка використовується для опису криволінійного руху та спрямована до центру криволінійної траєкторії. З іншого боку, кутова швидкість ω об’єкта, тобто швидкість зміни кута стріловидності (у радіанах) за одиницю часу, визначається як:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Або ми можемо знайти \(v\):

\(v = \omega r\)

Це співвідношення, яке існує між лінійною швидкістю та кутовою швидкістю. Якщо ми включимо це у вираз для доцентрового прискорення, то отримаємо:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Другий закон Ньютона говорить нам, що прискорення тіла прямо пропорційно прикладеній до нього силі та обернено пропорційно його масі. Або, у найвідомішій формі:

\(F = ma\)

Де \(F\) — сила, \(m\) — маса об’єкта, а \(a\) — прискорення. У випадку криволінійного руху, якщо є доцентрове прискорення, має бути і сила доцентровий \({F_c}\), який діє на тіло маси \(m\) і викликає доцентрове прискорення \({a_c}\), казати:

\({F_c} = m{a_c}\)

Підставляючи попередні вирази для доцентрового прискорення, отримуємо, що:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Доцентрова сила спрямована до центру криволінійної траєкторії і відповідає за постійно змінюючи напрямок, у якому рухається об’єкт, щоб підтримувати його рух вигнутий.

Гравітація як доцентрова сила і третій закон Кеплера

Третій закон руху планет Кеплера стверджує, що квадрат орбітального періоду, тобто час Час, за який планета робить один оберт навколо Сонця, пропорційний кубу великої півосі орбіта. Тобто:

\({T^2} = C{r^3}\)

Де \(T\) — орбітальний період \(C\), він є константою, а \(r\) — велика піввісь, або максимальна відстань між планетою та Сонцем по всій її орбіті.

Для простоти розглянемо планету масою \(m\), що рухається по круговій орбіті навколо Сонця, хоча цей аналіз можна поширити на випадок еліптичної орбіти й отримати те саме результат. Сила, яка утримує планету на її орбіті, - це гравітація, яка буде:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Де \({F_g}\) — сила тяжіння, \({M_S}\) — маса Сонця, \(G\) — універсальна гравітаційна стала, а \(r\) — відстань між планетою і сонце. Однак якщо планета рухається по круговій орбіті, на неї діє доцентрова сила \({F_c}\), яка утримує його на згаданій траєкторії, і яка в термінах кутової швидкості \(\omega \) буде дається:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Цікаво те, що в цьому випадку гравітація є тією доцентровою силою, яка утримує планету на її орбіті, декількома словами \({F_g} = {F_c}\), отже, ми можемо сказати, що:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Що ми можемо спростити так:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Кутова швидкість пов'язана з орбітальним періодом таким чином:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Підставляючи це в попереднє рівняння, отримуємо, що:

\(G{M_S} = \frac{{{{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Переставляючи умови, ми отримуємо, що:

\({T^2} = \frac{{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Останній — це саме третій закон Кеплера, який ми представили раніше, і якщо порівняти константу пропорційності, вона буде \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

А як щодо відцентрової сили?

Для цього типу руху частіше говорять про «відцентрову силу», а не про доцентрову силу. Перш за все тому, що це те, що ми, очевидно, відчуваємо, коли переживаємо це. Однак відцентрова сила є фіктивною силою, що виникає в результаті інерції.

Уявімо, що ми їдемо в автомобілі, який їде з певною швидкістю і раптово гальмує. Коли це станеться, ми відчуємо силу, яка штовхає нас вперед, однак ця очевидна сила, яку ми відчуваємо, є інерцією нашого власного тіла, яке хоче зберегти свій стан руху.

У разі криволінійного руху відцентрова сила є інерцією тіла, яке хоче зберегти своє положення. прямолінійний рух, але піддається доцентровій силі, яка утримує його на вигнутому шляху.

Список літератури

Девід Холлідей, Роберт Резнік і Джерл Вокер. (2011). Основи фізики. США: John Wiley & Sons, Inc.