Приклад повного простору

Математичний аналіз - розділ математичних наук, який займається вивченням повний простір, який є типом метричного простору.

Метричний простір складається з пар точок і функції відстані між ними; у цих просторах можна визначити послідовність Коші, яка утворюється все меншими відстанями між цими двома точками. Коли в метричному просторі вже неможливо знайти меншу відстань у послідовності, тоді маємо a повний простір. Закриті числові множини, тобто ті, в яких існує обмеження, є повними просторами.

Приклад повного простору:

Набір натуральних чисел, включаючи 0, є повним простором, оскільки цей набір закритий крайністю 0. Представлення цього набору чисел є N= [0, 1, 2,… n}.

Візьмемо будь-які дві точки між двома елементами цього набору, наприклад 4 і 8, представленими таким чином p = (4, 8), функція відстані між двома точками дорівнює 4, послідовність Коші задана послідовністю {4, 3, 2, 1, 0}, яка сходиться на 0.

Іншим прикладом є набір додатних дійсних чисел, утворених за допомогою {0}, який представляється як

І⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, оскільки з урахуванням двох точок у цьому просторі послідовність Коші сходиться, коли відстань дорівнює 0

Набір раціональних чисел не є повним простором, оскільки відстань 0 (число 0 як число не має існує в цьому наборі), що робить послідовність Коші не збіжною в будь-якій точці цього встановити.

Будь-який замкнутий проміжок натуральних чисел є повним простором.