Hvad er Maxwells ligninger, og hvordan defineres de?

Angel Zamora Ramirez | jul. 2022
Grad i fysik

Før disse ligninger blev det sagt, at de elektriske og magnetiske kræfter var "kræfter på afstand", ingen fysiske midler kendte til, hvormed denne type vekselvirkning ville forekomme. Efter mange års research vedr elektricitet Y magnetismeMichael Faraday mente, at der skulle være noget fysisk i rummet mellem ladningerne og de elektriske strømme, som ville tillade dem at interagere med hinanden og manifestere alle de elektriske og magnetiske fænomener, der var kendt, omtalte han først disse som "kraftlinjer", hvilket førte til ideen om eksistensen af ​​et elektromagnetisk felt.

Med udgangspunkt i Faradays idé udvikler James Clerk Maxwell en feltteori repræsenteret ved fire partielle differentialligninger. Maxwell omtalte dette som "elektromagnetisk teori" og var den første til at inkorporere denne type matematisk sprog i en fysisk teori. Maxwells ligninger i deres differentialform for vakuum (det vil sige i fravær af dielektriske og/eller polariserbare materialer) er som følger:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maxwells ligninger for vakuumet i dets differentialform

Hvor \(\vec{E}~\)er det elektriske felt, \(\vec{B}~\)er det magnetiske felt, \(\rho ~\)er tætheden af elektrisk ladning, \(\vec{J}~~\)er en vektor tilknyttet en elektrisk strøm, \({{\epsilon }_{0}}~\)er den elektriske permittivitet af et vakuum og \({{\mu }_{0}}}~~\)er den magnetiske permeabilitet af et vakuum. Hver af disse ligninger svarer til a lov af elektromagnetisme og har en betydning. Jeg vil kort forklare hver af dem nedenfor.

Gauss lov

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gauss lov for det elektriske felt

Hvad denne første ligning fortæller os er, at de elektriske ladninger er kilderne til det elektriske felt, dette elektriske felt "divergerer" direkte fra ladningerne. Endvidere er retningen af ​​det elektriske felt dikteret af tegnet på den elektriske ladning, der producerer det, og hvor tæt feltlinjerne er, angiver størrelsen af ​​selve feltet. Billedet nedenfor opsummerer noget, hvad der lige er blevet nævnt.

Illustration 1. Fra Studiowork.- Diagram over de elektriske felter genereret af to punktladninger, en positiv og en negativ.

Denne lov skylder sit navn til matematikeren Johann Carl Friedrich Gauss, der formulerede den baseret på hans divergenssætning.

Gauss lov for magnetfeltet

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gauss lov for magnetfeltet

Denne lov har ikke et specifikt navn, men den kaldes det på grund af dens lighed med den tidligere ligning. Betydningen af ​​dette udtryk er, at der ikke er nogen "magnetisk ladning" analog med "elektrisk ladning", det vil sige, at der ikke er nogen magnetiske monopoler, der er kilden til det magnetiske felt. Dette er grunden til, at hvis vi brækker en magnet i to, vil vi stadig have to ens magneter, både med en nordpol og en sydpol.

Faradays lov

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradays lov om induktion

Dette er den berømte induktionslov formuleret af Faraday, da han i 1831 opdagede, at skiftende magnetiske felter var i stand til at inducere elektriske strømme. Hvad denne ligning betyder er, at et magnetfelt, der ændrer sig med tiden, er i stand til at inducere omkring det et elektrisk felt, som igen kan få elektriske ladninger til at bevæge sig og skabe en strøm. Selvom dette umiddelbart kan lyde meget abstrakt, er Faradays lov bag motorer, elektriske guitarer og induktionskogeplader.

Ampère-Maxwell lov

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Det første, denne ligning fortæller os, er, at elektriske strømme genererer magnetiske felter omkring strømmens retning, og at størrelsen af ​​det genererede magnetfelt afhænger af størrelsen af ​​dette, dette var hvad Oersted observerede, og som senere Ampère var i stand til at formulere. Der er dog noget mærkeligt bag denne ligning, og det er det andet led på siden lov af ligningen blev introduceret af Maxwell, fordi dette udtryk oprindeligt var inkonsekvent med de andre førte det især til en overtrædelse af loven om bevarelse af elektrisk ladning. For at undgå dette introducerede Maxwell simpelthen dette andet udtryk, så hele hans teori ville være konsekvent, dette udtryk modtog navnet "forskydningsstrøm", og på det tidspunkt var der ingen eksperimentelle beviser til støtte for det. vil sikkerhedskopiere

Illustration 2. De Rumruay.- En elektrisk strøm, der flyder gennem et kabel, genererer et magnetisk felt omkring det i henhold til Ampères lov.

Betydningen af ​​forskydningsstrømmen er, på samme måde som et magnetfelt variabel inducerer et elektrisk felt, et elektrisk felt, der ændrer sig med tiden, er i stand til at generere et felt magnetisk. Den første eksperimentelle bekræftelse af forskydningsstrømmen var demonstrationen af ​​eksistensen af elektromagnetiske bølger af Heinrich Hertz i 1887, mere end 20 år efter offentliggørelsen af ​​teorien om Maxwell. Imidlertid blev den første direkte måling af forskydningsstrøm foretaget af M. R. Van Cauwenberghe i 1929.

lys er en elektromagnetisk bølge

En af de første forbløffende forudsigelser lavet af Maxwells ligninger er eksistensen af elektromagnetiske bølger, men ikke kun det, de afslørede også, at lys måtte være en bølge af dette Type. For at se dette lidt vil vi lege med Maxwells ligninger, men før det er her formen for enhver bølgeligning:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Generel form for en bølgeligning i tre dimensioner.

Hvor \({{\nabla }^{2}}\) er Laplacian-operatoren, \(u\) er en bølgefunktion, og \(v\) er bølgens hastighed. Vi vil også arbejde med Maxwells ligninger i det tomme rum, det vil sige i fravær af elektriske ladninger og elektriske strømme, kun elektriske og magnetiske felter:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Og vi vil også bruge følgende identitet vektorregning:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \tid{A}\)

Hvis vi anvender denne identitet på elektriske og magnetiske felter ved hjælp af Maxwells ligninger for tomt rum ovenfor, får vi følgende resultater:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Bemærk ligheden mellem disse ligninger og bølgeligningen ovenfor, i konklusion, kan elektriske og magnetiske felter opføre sig som bølger (elektromagnetiske bølger). Hvis vi definerer hastigheden af ​​disse bølger som \(c\) og sammenligner disse ligninger med bølgeligningen ovenfor, kan vi sige, at hastigheden er:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) og \({{\epsilon }_{0}}\) er henholdsvis den magnetiske permeabilitet og den elektriske permittivitet af vakuum, og begge er konstanter universaler, hvis værdier er \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) og \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\gange {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), erstatter disse værdier, har vi, at værdien af ​​\(c\) er \(c=299.792.458\frac{m}{s}\ca. 300.000~km/s\), hvilket er nøjagtigt hastigheden af lys.

Med denne lille analyse kan vi opnå tre meget vigtige konklusioner:

1) Elektriske og magnetiske felter kan opføre sig som bølger, det vil sige, at der er elektromagnetiske bølger, der også er i stand til at forplante sig gennem et vakuum.

2) Lys er en elektromagnetisk bølge, hvis hastighed afhænger af den magnetiske permeabilitet og permittivitet af mediet, hvorigennem det forplanter sig, i tomt rum har lyset en hastighed på ca 300.000 km/s.

3) Da den magnetiske permeabilitet og den elektriske permittivitet er universelle konstanter, så er den Lysets hastighed er også en universel konstant, men dette indebærer også, at dens værdi ikke afhænger af rammer hvorfra det måles.

Denne sidste udtalelse var meget kontroversiel på det tidspunkt.Hvordan er det muligt, at hastigheden af lyset er det samme uanset bevægelsen af ​​den person, der måler det, og bevægelsen af ​​lyskilden. lys? Hastigheden af ​​noget skal være relativ, ikke? Nå, dette var et vandskel for datidens fysik, og denne enkle, men dybe kendsgerning førte til udviklingen af ​​Theory of Special Relativity af Albert Einstein i 1905.