מהן משוואות מקסוול וכיצד הן מוגדרות?

אנחל זמורה רמירז | יולי 2022
תואר בפיזיקה

לפני המשוואות הללו, נאמר שהכוחות החשמליים והמגנטיים הם "כוחות מרחוק", לא היה ידוע שום אמצעי פיזיק שבאמצעותו תתרחש אינטראקציה מסוג זה. לאחר שנים רבות של מחקר בנושא חַשְׁמַל י מַגנֶטִיוּת, מייקל פאראדיי הבין שחייב להיות משהו פיזי במרחב שבין המטענים והזרמים החשמליים שיאפשר להם לקיים אינטראקציה זה עם זה ולבטא את כל תופעות חשמליות ומגנטיות שהיו ידועות, הוא התייחס אליהן בהתחלה כ"קווי כוח", מה שהוביל לרעיון קיומו של שדה אלקטרומגנטי.

בהתבסס על הרעיון של פאראדיי, ג'יימס קלרק מקסוול מפתח תורת שדה המיוצגת על ידי ארבע משוואות דיפרנציאליות חלקיות. מקסוול התייחס לזה כ"תיאוריה אלקטרומגנטית" והיה הראשון ששילב סוג זה של שפה מתמטית בתיאוריה פיזיקלית. המשוואות של מקסוול בצורתן הדיפרנציאלית עבור ואקום (כלומר, בהיעדר חומרים דיאלקטריים ו/או ניתנים לקיטוב) הן כדלקמן:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
משוואות מקסוול לוואקום בצורתו הדיפרנציאלית

כאשר \(\vec{E}~\)הוא השדה החשמלי, \(\vec{B}~\)הוא השדה המגנטי, \(\rho ~\)היא הצפיפות של מטען חשמלי, \(\vec{J}~~\)הוא וקטור המשויך ל-a זרם חשמלי, \({{\epsilon }_{0}}~\)הוא הפרמיטיביות החשמלית של ואקום ו-\({{\mu }_{0}}}~~\)היא החדירות המגנטית של ואקום. כל אחת מהמשוואות הללו תואמת את א חוֹק של אלקטרומגנטיות ויש לו משמעות. אסביר בקצרה כל אחד מהם להלן.

חוק גאוס

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
חוק גאוס לשדה החשמלי

מה שהמשוואה הראשונה הזו אומרת לנו הוא שהמטענים החשמליים הם המקורות של השדה החשמלי, השדה החשמלי הזה "מתפצל" ישירות מהמטענים. יתר על כן, כיוון השדה החשמלי מוכתב על ידי סימן המטען החשמלי המייצר אותו, וכמה קרובים קווי השדה מצביעים על גודל השדה עצמו. התמונה למטה מסכמת במידת מה את מה שהוזכר זה עתה.

איור 1. מתוך עבודת סטודיו.- תרשים של השדות החשמליים הנוצרים משני מטענים נקודתיים, אחד חיובי ואחד שלילי.

חוק זה חייב את שמו למתמטיקאי יוהאן קרל פרידריך גאוס שניסח אותו על סמך משפט ההסתייגות שלו.

חוק גאוס לשדה המגנטי

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

חוק גאוס לשדה המגנטי

לחוק הזה אין שם ספציפי, אבל הוא נקרא כך בגלל הדמיון שלו למשוואה הקודמת. המשמעות של ביטוי זה היא שאין "מטען מגנטי" מקביל ל"מטען חשמלי", כלומר אין מונופולים מגנטיים שהם מקור השדה המגנטי. זו הסיבה שאם נשבור מגנט לשניים עדיין יהיו לנו שני מגנטים דומים, שניהם עם קוטב צפוני וקוטב דרומי.

חוק פאראדיי

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
חוק האינדוקציה של פאראדיי

זהו חוק האינדוקציה המפורסם שנוסח על ידי פאראדיי כאשר בשנת 1831 הוא גילה ששדות מגנטיים משתנים מסוגלים להשרות זרמים חשמליים. המשמעות של המשוואה הזו היא ששדה מגנטי שמשתנה עם הזמן מסוגל לגרום סביבו שדה חשמלי, אשר בתורו יכול לגרום למטענים חשמליים לנוע וליצור א זרם. למרות שזה אולי נשמע מאוד מופשט בהתחלה, החוק של פאראדיי עומד מאחורי פעולתם של מנועים, גיטרות חשמליות ומשטחי אינדוקציה.

חוק אמפר-מקסוול

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

הדבר הראשון שמשוואה זו אומרת לנו הוא שזרמים חשמליים יוצרים שדות מגנטיים סביב כיוון הזרם וזה גודל השדה המגנטי שנוצר תלוי בגודל זה, זה מה שאורסטד צפה ושמאוחר יותר אמפר הצליח לְנַסֵחַ. עם זאת, יש משהו מוזר מאחורי המשוואה הזו, וזה המונח השני בצד חוֹק של המשוואה הוצג על ידי מקסוול מכיוון שביטוי זה במקור לא היה עקבי עם האחרים, במיוחד, זה הוביל להפרה של חוק שימור המטען החשמלי. כדי להימנע מכך מקסוול פשוט הציג את המונח השני הזה כדי שכל התיאוריה שלו תהיה עקבית, המונח הזה קיבל את השם "זרם עקירה" ובאותה עת לא היו עדויות ניסויות שתומכות בכך. יגבה

איור 2. De Rumruay.- זרם חשמלי הזורם דרך כבל יוצר סביבו שדה מגנטי לפי חוק אמפר.

המשמעות של זרם העקירה היא באותו אופן כמו שדה מגנטי משתנה גורם לשדה חשמלי, שדה חשמלי המשתנה עם הזמן מסוגל ליצור שדה מַגנֶטִי. האישור הניסיוני הראשון לזרם העקירה היה הדגמת קיומו של גלים אלקטרומגנטיים מאת היינריך הרץ ב-1887, יותר מ-20 שנה לאחר פרסום התיאוריה של מקסוול. עם זאת, המדידה הישירה הראשונה של זרם העקירה נעשתה על ידי M. ר. ואן קובנברג ב-1929.

האור הוא גל אלקטרומגנטי

אחת מהתחזיות המטריפות הראשונות של משוואות מקסוול היא קיומו של גלים אלקטרומגנטיים, אבל לא רק זה, הם גם חשפו שאור צריך להיות גל של זה סוּג. כדי לראות את זה קצת, נשחק עם המשוואות של מקסוול, אבל לפני כן, הנה הצורה של כל משוואת גל:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
צורה כללית של משוואת גל בתלת מימד.

כאשר \({{\nabla }^{2}}\) הוא האופרטור הלפלסיאני, \(u\) הוא פונקציית גל, ו-\(v\) היא מהירות הגל. נעבוד גם עם משוואות מקסוול בחלל ריק, כלומר בהיעדר מטענים חשמליים וזרמים חשמליים, רק שדות חשמליים ומגנטים:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

ונשתמש גם בדברים הבאים זהות חישוב וקטור:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

אם אנו מיישמים את הזהות הזו על שדות חשמליים ומגנטיים באמצעות משוואות מקסוול לחלל ריק למעלה, נקבל את התוצאות הבאות:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial}^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial}^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

שימו לב לדמיון של משוואות אלו למשוואת הגלים שלמעלה, ב סיכום, שדות חשמליים ומגנטיים יכולים להתנהג כמו גלים (גלים אלקטרומגנטיים). אם נגדיר את מהירות הגלים האלה כ-\(c\) ונשווה את המשוואות הללו למשוואת הגלים שלמעלה נוכל לומר שהמהירות היא:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu _{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) ו-\({{\epsilon }_{0}}\) הם החדירות המגנטית והאפשריות החשמלית של ואקום, בהתאמה, ושניהם קבועים אוניברסליים שהערכים שלהם הם \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) ו-\({{\ epsilon } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), בהחלפת ערכים אלו, יש לנו שהערך של \(c\) הוא \(c=299,792,458\frac{m}{s}\approx 300,000~km/s\) שהיא בדיוק המהירות של אוֹר.

בעזרת ניתוח קטן זה נוכל להגיע לשלוש מסקנות חשובות מאוד:

1) שדות חשמליים ומגנטיים יכולים להתנהג כמו גלים, כלומר ישנם גלים אלקטרומגנטיים המסוגלים גם להתפשט בוואקום.

2) האור הוא גל אלקטרומגנטי שמהירותו תלויה בחדירות המגנטית ובאפשרות מהתווך שדרכו הוא מתפשט, בחלל ריק לאור יש מהירות של בערך 300,000 קמ"ש.

3) מכיוון שהחדירות המגנטית והפרימטיביות החשמלית הם קבועים אוניברסליים, אזי מהירות האור היא גם קבוע אוניברסלי, אבל זה גם מרמז שערכו אינו תלוי שֶׁל מִסגֶרֶת שממנו הוא נמדד.

אמירה אחרונה זו הייתה שנויה במחלוקת מאוד בזמנו.איך ייתכן שהמהירות של האור זהה ללא קשר לתנועה של האדם המודד אותו ולתנועת מקור האור. אוֹר? המהירות של משהו חייבת להיות יחסית, נכון? ובכן, זה היה קו פרשת מים לפיזיקה של אותה תקופה ועובדה פשוטה אך עמוקה זו הובילה לפיתוח תורת היחסות המיוחדת על ידי אלברט איינשטיין ב-1905.