הגדרה של משוואה ריבועית/ריבועית

משוואה מדרגה שנייה או, אם לא, ריבועית, ביחס לא ידוע, באה לידי ביטוי בצורה:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
כאשר הלא נודע הוא \(x\), כל עוד \(a, b\) ו-c הם קבועים ממשיים, עם \(a \ne 0.\)

ישנן מספר טכניקות לפתרון משוואות ריבועיות, כולל פירוק לגורמים, ובמקרה זה עלינו לקחת בחשבון את המאפיין הבא לפי הרזולוציה:

אם המכפלה של שני מספרים היא אפס אז יש שתי אפשרויות:

1. שניהם שווים לאפס.
2. אם אחד לא אפס אז השני הוא אפס

ניתן לבטא את האמור לעיל באופן הבא:
אם \(pq = 0\) אז \(p = 0\) או \(q = 0\).

דוגמה מעשית 1: פתרו את המשוואה \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	מצב התחלתי
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	הוסף 8 לשני הצדדים של המשוואה כדי לפתור עבור \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	השורש הריבועי מתקבל בחיפוש אחר בידוד \(x.\) 8 נלקח בחשבון ומאפיינים של רדיקלים וכוחות מיושמים.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	אתה מקבל את השורש של \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

הפתרונות של \({x^2} – 8\)=0 הם:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

דוגמה מעשית 2: פתרו את המשוואה \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	מצב התחלתי
\({x^2} – {12^2} = 0\)	השורש הריבועי של 144 הוא 12. מזהה הבדל של ריבועים.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	ההבדל בין הריבועים מובא בחשבון
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	אנו רואים את האפשרות שהגורם \(x + 12\) שווה ל-0. המשוואה המתקבלת נפתרת.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	אנו רואים את האפשרות שהגורם \(x – 12\) שווה ל-0. המשוואה המתקבלת נפתרת.

הפתרונות של המשוואה \({x^2} – 144 = 0\) הם

\(x = – 12,\;12\)

דוגמה מעשית 3: פתרו את המשוואה \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	מצב התחלתי
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) מזוהה כגורם משותף ומבצעים את הפירוק לגורמים.
\(x = 0\)	שקול את האפשרות שהגורם \(x\) שווה ל-0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	אנו רואים את האפשרות שהגורם \(x – 12\) שווה ל-0. המשוואה המתקבלת נפתרת.

הפתרונות של המשוואה \({x^2} + 3x = 0\), הם:
\(x = – 3.0\)

דוגמה מעשית 4: פתרו את המשוואה \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	מצב התחלתי
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	השורש הריבועי של 49 הוא 7 ו-\(2x\left( 7 \right) = 14x.\) מזוהה טרינום מרובע מושלם.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	הטרינום הריבועי המושלם מתבטא כבינומיל בריבוע.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

הפתרון של \({x^2} – 14x + 49 = 0\) הוא:
\(x = 7\)

דוגמה מעשית 5: פתרו את המשוואה \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	מצב התחלתי
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	המוצר \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	זה מבוטא כ-\( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\left( {5x – 4} \right) – 3\left( {5x – 4} \right) = 0\)	זהה את \(2x\) כגורם נפוץ בתוספת הראשונה ופירוק אותו. זהה את \( – 3\) כגורם משותף בתוספת השניה וגורם לו.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	חשב את הגורם המשותף \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	אנו רואים את האפשרות שהגורם \(5x – 12\) שווה ל-0. המשוואה המתקבלת נפתרת.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	שקול את האפשרות שהגורם \(2x – 3\) שווה ל-0. המשוואה המתקבלת נפתרת.

הפתרונות של \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) הם:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

דוגמה מעשית 6: פתרו את המשוואה \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	מצב התחלתי הטרינום אינו ריבוע מושלם
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	הוסף -1 לכל צד של המשוואה.
\({x^2} + 4x = – 1\)	מכיוון ש-\(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) על ידי הוספת \({2^2}\), נקבל ריבוע מושלם.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	הוסף \({2^2}\;\) לכל צד של המשוואה. הצד השמאלי הוא ריבוע מושלם.
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	הטרינום הריבועי המושלם מתבטא כבינומיל בריבוע.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	קח את השורש הריבועי של כל צד של המשוואה
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	פתור עבור \(x\).

הפתרונות של \({x^2} + 4x + 1 = 0\) הם:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

דוגמה מעשית 7: פתרו את המשוואה \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	מצב התחלתי הטרינום אינו ריבוע מושלם.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	הוסף 1 לכל צד של המשוואה
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	הכפל בכל צד של המשוואה כך שהמקדם של \({x^2}\) יהיה שווה ל-1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	המוצר מופץ מאז \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), על ידי הוספת \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) נותן טרינום ריבועי מושלם.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	הוסף 3 לשני הצדדים של המשוואה כדי לפתור עבור \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	הטרינום הריבועי המושלם מתבטא כבינומיאל קוביות.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	קח את השורש הריבועי של כל צד של המשוואה
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	פתור עבור \(x\).

הפתרונות של \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) הם:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

ההליך המשמש במשוואה לעיל ישמש כדי למצוא את מה שנקרא הנוסחה הכללית לפתרונות ריבועיים.

נוסחה כללית של משוואת מדרגה שנייה.

נוסחה כללית של משוואות ריבועיות

בחלק זה נגלה כיצד לפתור, באופן כללי, משוואה ריבועית

עם \(a \ne 0\) הבה נבחן את המשוואה \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

מאז \(a \ne 0\) זה מספיק כדי לפתור:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	מצב התחלתי
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	הוסף \( – \frac{c}{a}\) לכל צד של המשוואה.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	מאז \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), על ידי הוספת \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) מניב טרינום ריבועי מושלם.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	הצד השמאלי של המשוואה הוא טרינום ריבועי מושלם.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	הטרינום הריבועי המושלם מתבטא כבינומיל בריבוע. השבר האלגברי נעשה.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	קח את השורש הריבועי של כל צד של המשוואה.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	מאפיינים רדיקליים חלים.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	חלים מאפייני ערך מוחלט.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	לכל צד של המשוואה הוסף \( – \frac{b}{{2a}}\) כדי לפתור עבור \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	השבר האלגברי נעשה.

המונח \({b^2} – 4{a^2}c\) נקרא המבחין של המשוואה הריבועית \(a{x^2} + bx + c = 0\).

כאשר המבחין של המשוואה לעיל הוא שלילי, הפתרונות הם מספרים מרוכבים ואין פתרונות אמיתיים. פתרונות מורכבים לא יכוונו בהערה זו.

בהינתן המשוואה הריבועית \(a{x^2} + bx + c = 0\), אם \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). אז הפתרונות של המשוואה הזו הם:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

הביטוי:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

זה נקרא הנוסחה הכללית של המשוואה הריבועית.

דוגמה מעשית 8: פתרו את המשוואה \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(ל\)	\(ב\)	\(c\)	מפלה	פתרונות אמיתיים
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

הפתרונות של המשוואה הם:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

דוגמה מעשית 9: פתרו את המשוואה \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(ל\)	\(ב\)	\(c\)	מפלה	פתרונות אמיתיים
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\left( {17} \right)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

הפתרונות של המשוואה הם:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

דוגמה מעשית 10: פתרו את המשוואה \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(ל\)	\(ב\)	\(c\)	מפלה	פתרונות אמיתיים
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	אין

משוואות שונות

ישנן משוואות לא ריבועיות שניתן להמיר למשוואה ריבועית, נראה שני מקרים.

דוגמה מעשית 11: מציאת הפתרונות האמיתיים של המשוואה \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

ביצוע השינוי של המשתנה \(y = \sqrt x \), המשוואה הקודמת נשארת כך:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

לכן \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

מכיוון ש-\(\sqrt x \) מציין רק ערכים חיוביים, נשקול רק:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

תשובה:

הפתרון האמיתי היחיד הוא:
\(x = \frac{1}{9}\)

דוגמה מעובדת 12: פתרו את המשוואה \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

ביצוע השינוי של המשתנה:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

נקבל את המשוואה:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

הערכים האפשריים של \(y\) הם:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

מבין האמור לעיל נשקול רק את הפתרון החיובי.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

הפתרונות הם \(x = 9.\)