הגדרה של רציונליזציה של רדיקלים (מתמטיקה)

הרציונליזציה של רדיקלים היא תהליך מתמטי שמתבצע כאשר ישנה מנה עם רדיקלים או שורשים במכנה. בדרך זו, ניתן להקל על פעולות מתמטיות כאשר מדובר במנות עם רדיקלים וסוגים אחרים של אובייקטים מתמטיים.

סוגי כמות עם רדיקלים

חשוב להזכיר כמה סוגים של מנות עם רדיקלים שניתן לבצע רציונליזציה. עם זאת, לפני שנכנסים במלואם לתהליך ההתייעלות, יש לזכור כמה מושגים חשובים. ראשית, נניח שיש לנו את הביטוי הבא: \(\sqrt[m]{n}\). זהו השורש \(m\) של המספר \(n\), כלומר התוצאה של הפעולה האמורה היא מספר כך שהעלאתו לחזקת \(m\) נותנת לנו את המספר \(n\) כתוצאה מכך). החזקה והשורש הם פעולות הפוכות, באופן ש: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
מצד שני, ראוי להזכיר שהמכפלה של שני שורשים שווים שווה לשורש המכפלה, כלומר: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). שני הנכסים האלה יהיו בעלי בריתנו הטובים ביותר בעת רציונליזציה.

הסוג הנפוץ והפשוט ביותר של מנה עם רדיקל שאנו יכולים למצוא הוא הבא:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

כאשר \(a\), \(b\) ו-\(c\) יכולים להיות כל מספרים ממשיים. תהליך הרציונליזציה במקרה זה מורכב ממציאת דרך להשיג במנה את הביטוי \(\sqrt {{c^2}} = c\) כדי להיפטר מהרדיקל. במקרה זה, מספיק להכפיל ב-\(\sqrt c \) גם את המונה וגם את המכנה:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

נזכור את מה שהוזכר לעיל, אנו יודעים ש-\(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). לכן, לבסוף אנו משיגים כי:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

בדרך זו רצינו את הביטוי הקודם. ביטוי זה אינו אלא מקרה מסוים של ביטוי כללי שהוא הבא:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

כאשר \(a\), \(b\), \(c\) הם כל מספרים ממשיים ו-\(n\), \(m\) הם חזקה חיובית. הרציונליזציה של ביטוי זה מבוססת על אותו עיקרון כמו הקודם, כלומר, לקבל את הביטוי \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) במכנה. נוכל להשיג זאת על ידי הכפלה ב-\(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) גם במונה וגם במכנה:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

אנו יכולים לפתח את התוצר של רדיקלים במכנה כדלקמן: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). לכן, המנה הרציונלית נשארת כך:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – M}}}}\)

סוג אחר של מנה עם רדיקלים שניתן לבצע רציונליזציה הוא זה שבו יש לנו בינום עם שורשים מרובעים במכנה:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

כאשר \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ו-\(e\;\)הם כל מספרים ממשיים. הסמל \( ± \) מציין שהסימן יכול להיות חיובי או שלילי. לבינומי המכנה יכולים להיות שני שורשים או רק אחד, עם זאת, אנו משתמשים במקרה זה כדי לקבל תוצאה כללית יותר. הרעיון המרכזי לבצע את תהליך הרציונליזציה במקרה זה זהה למקרים הקודמים, רק זה במקרה זה נכפיל גם את המונה וגם את המכנה בצמוד של הבינומי שנמצא ב- מְכַנֶה. הצימוד של בינומי הוא בינומי בעל אותם מונחים, אך הסמל המרכזי שלו מנוגד לבינומי המקורי. לדוגמה, הצימוד של הבינומי \(ux + vy\) הוא \(ux – vy\). עם זאת, יש לנו אז:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

הסמל \( \mp \) מציין שהסימן יכול להיות חיובי או שלילי, אבל הוא צריך להיות מנוגד לסמל המכנה כדי שהבינומים יהיו מצומדים. על ידי פיתוח הכפל של הבינומים של המכנה נקבל את זה:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

לבסוף אנחנו מקבלים את זה:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

עם זה רצינו את המנה ברדיקל. המנות הללו עם רדיקלים הן אלה שבאופן כללי ניתן לרציונליזציה. לאחר מכן, נראה כמה דוגמאות לרציונליזציה של רדיקלים.

דוגמאות

הבה נסתכל על כמה דוגמאות לרציונליזציה עם מנות עם רדיקלים מהסוג שהוזכר לעיל. ראשית נניח שיש לנו את המנה הבאה:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

במקרה זה מספיק להכפיל את המונה והמכנה ב-\(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

עכשיו, נניח שיש לנו את המנה הבאה עם רדיקל:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

במקרה זה יש לנו שורש שישי בחזקת מעוקב. בסעיף הקודם הזכרנו שאם יש לנו רדיקל בצורה \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) ב- מכנה, נוכל לעשות רציונליזציה של המנה על ידי הכפלת המונה והמכנה ב-\(\sqrt[n]{{{c^{n -M}}}}\). בהשוואה זו למקרה המוצג כאן אנו יכולים להבין ש-\(n = 6\), \(c = 4\) ו-\(m = 3\), לכן לכן, נוכל לעשות רציונליזציה של המנה הקודמת על ידי הכפלת המונה והמכנה ב \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

לבסוף, נניח שיש לנו את הפונקציה הבאה:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

כפי שהוצג בסעיף הקודם, כדי לבצע רציונליזציה של סוג זה של מנה עם רדיקלים, עליך להכפיל את המונה והמכנה בצמוד של המכנה. במקרה זה הצימוד של המכנה יהיה \(x – \sqrt x \). לכן, הביטוי יהיה כדלקמן:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

בפיתוח הכפל של בינומים מצומדים של המכנה, אנו מקבלים לבסוף את זה:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

הפניות

אגילר ארתורו, בראבו פביאן, גאלגוס הרמן, סרון מיגל ורייז ריקרדו. (2009). חֶשְׁבּוֹן. מקסיקו: פירסון חינוך.