Definisjon av aritmetisk progresjon

En sekvens av tall \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​kalles en aritmetisk progresjon hvis forskjellen mellom to påfølgende tall er lik det samme tallet \(d\), det er ja:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Tallet \(d\) kalles differansen av den aritmetiske progresjonen.

Elementet \({a_1}\) kalles det første elementet i den aritmetiske sekvensen.

Elementene i den aritmetiske progresjonen kan uttrykkes i form av det første elementet og dets forskjell, det vil si:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

De er de fire første elementene i den aritmetiske progresjonen; Generelt uttrykkes \(k – \)te element som følger:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Fra uttrykket ovenfor får vi:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \venstre( {k – l} \right) d\)

Uttrykket ovenfor tilsvarer:

\({a_k} = {a_l} + \venstre( {k – l} \right) d\)

Eksempler brukt for aritmetisk progresjon

1. Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​og finn elementene \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Løsning

Siden \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) kan vi konkludere med at forskjellen er:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. I en aritmetisk progresjon har vi: \({a_{17}} = 20\;\)og \({a_{29}} = – 130\), bestem forskjellen på aritmetisk progresjon og skriv de første 5 elementene.

Løsning

Iført

\({a_k} – {a_l} = \venstre( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \venstre( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \venstre( {12} \høyre) d\)

\( – 150 = \venstre( {12} \høyre) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

For å finne de første 5 elementene; vi beregner \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

De første 5 elementene er:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Polygonale tall og summen av de første \(n\) elementene i en aritmetisk progresjon

trekantetall

Trekanttallene \({T_n}\;\) dannes fra den aritmetiske progresjonen: \(1,2,3,4 \ldots \); på følgende måte.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

kvadrattall

Kvadrattallene \({C_n}\;\) dannes fra den aritmetiske progresjonen: \(1,3,5,7 \ldots \); følgende

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

femkantede tall

Kvadrattallene \({P_n}\;\) dannes fra den aritmetiske progresjonen: \(1,3,5,7 \ldots \); følgende

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Deretter vil vi vise formelen for å finne summen av de første \(n\) elementene i en aritmetisk progresjon.

Gitt den aritmetiske progresjonen, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). For å beregne summen \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) kan du bruke formelen:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

som tilsvarer

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Ved å bruke den forrige formelen, oppnås formlene for å beregne de trekantede, kvadratiske og femkantede tallene; som er vist i tabellen nedenfor.

polygonalt tall	\({a_1}\)	\(d\)	Formel
Trekantet \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Firkant \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Femkantet \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Eksempel på polygonale tall

3. Fra eksempel 2 regner du ut \({S_{33}}\).

Løsning

I dette tilfellet \({a_1} = 200\) og \(d = – \frac{{25}}{2}\)

søker

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\venstre( {400 + 16\venstre( { – 25} \right)} \right) = 17\venstre( 0 \right) = 0\)

aritmetiske midler

Gitt to tall \(a\;\) og \(b,\) kalles tallene \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) \(k\) aritmetiske tall \(a\;\) og \(b\); hvis sekvensen \(a,{a_2},{a_3}, \ldots,{a_{k + 1}},b\) er en aritmetisk progresjon.

For å kjenne verdiene til \(k\) aritmetiske middel av tallene \(a\;\) og \(b\), er det nok å kjenne forskjellen på den aritmetiske progresjonen, for dette må følgende være ansett:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Fra ovenstående etablerer vi forholdet:

\(b = a + \venstre( {k + 2 – 1} \høyre) d\)

Ved å løse for \(d\), får vi:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

eksempler

4. Finn 7 aritmetiske middelverdier mellom tallene -5 og 25.

Løsning

Ved søknad

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

med \(b = 25,\;a = – 5\) og \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

De 7 aritmetiske middelene er:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. En person ga 2000 dollar som forskuddsbetaling for å kjøpe et kjøleskap og betalte resten med kredittkortet sitt i 18 måneder uten renter. Han må betale 550 dollar i måneden for å gjøre opp gjelden, som han skaffet seg for å betale for kjøleskapet sitt.

til. Hva koster kjøleskapet?

b. Hvis du har betalt resten over 12 måneder uten renter, hvor mye vil den månedlige betalingen være?

Løsning

til. I dette tilfellet:

\({a_{19}} = 2000 + 18\venstre( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Mellom tallene 2000 og 11900 må vi finne 11 aritmetiske middelverdier, for hvilke:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Gitt sekvensen \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) finn følgende 3 elementer og det generelle uttrykket for elementet \(n\).

Løsning

Den aktuelle sekvensen er ikke en aritmetisk progresjon, siden \(22 – 7 \ne 45 – 22\), men vi kan danne en sekvens med forskjellene mellom to påfølgende elementer og følgende tabell viser resultater:

Elementer i sekvensen \({b_n}\)	Sekvens \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Den tredje kolonnen i tabellen ovenfor forteller oss at sekvensen \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); er en aritmetisk sekvens hvis forskjell er \(d = 8\).

Deretter vil vi skrive elementene i sekvensen \({b_n}\) i form av sekvensen \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Generelt har du:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Ved søknad

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Med \({c_1} = 7\) og \(d = 8,\) får vi:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\venstre( {7 + 4\venstre( {n – 1} \høyre)} \høyre)\)

\({b_n} = n\venstre( {4n + 3} \høyre)\)

Ved å bruke den forrige formelen: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)