Definicja siły dośrodkowej

Siła dośrodkowa to siła działająca na obiekt poruszający się po zakrzywionej drodze. Kierunek tej siły jest zawsze skierowany w stronę środka krzywej i to ona utrzymuje obiekt na tej ścieżce, uniemożliwiając mu dalszy ruch po linii prostej.

Ruch krzywoliniowy i siła dośrodkowa

Załóżmy, że mamy obiekt poruszający się po torze kołowym. Do opisu krzywoliniowego ruchu tego ciała stosuje się zmienne kątowe i liniowe. Zmienne kątowe to te, które opisują ruch obiektu w kategoriach kąta, pod jakim obiekt „obraca się” wzdłuż swojej ścieżki. Z drugiej strony zmienne liniowe to te, które wykorzystują jego położenie względem punktu obrotu i jego prędkość w kierunku stycznym krzywa.

Przyspieszenie dośrodkowe \({a_c}\) doświadczane przez obiekt poruszający się po trajektorii kołowy z prędkością styczną \(v\) i w odległości \(r\) od punktu obrotu będzie podane przez:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Przyspieszenie dośrodkowe to zmienna liniowa używana do opisu ruchu krzywoliniowego i skierowana w stronę środka zakrzywionej ścieżki. Z drugiej strony prędkość kątowa ω obiektu, czyli szybkość zmiany kąta odchylenia (w radianach) na jednostkę czasu, wyraża się wzorem:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Lub możemy rozwiązać dla \(v\):

\(v = \omega r\)

Jest to zależność istniejąca pomiędzy prędkością liniową a prędkością kątową. Jeśli podłączymy to do wyrażenia na przyspieszenie dośrodkowe, otrzymamy:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Drugie prawo Newtona mówi nam, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do przyłożonej do niego siły i odwrotnie proporcjonalne do jego masy. Lub w najbardziej znanej formie:

\(F = ma\)

Gdzie \(F\) to siła, \(m\) to masa obiektu, a \(a\) to przyspieszenie. W przypadku ruchu krzywoliniowego, jeśli występuje przyspieszenie dośrodkowe, musi także działać siła dośrodkowe \({F_c}\), które działa na ciało o masie \(m\) i które powoduje przyspieszenie dośrodkowe \({a_c}\), wynosi mowić:

\({F_c} = m{a_c}\)

Zastępując poprzednie wyrażenia przyspieszeniem dośrodkowym otrzymujemy, że:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Siła dośrodkowa skierowana jest w stronę środka krzywoliniowej ścieżki i jest za nią odpowiedzialna ciągła zmiana kierunku, w którym porusza się obiekt, aby utrzymać go w ruchu zakrzywiony.

Grawitacja jako siła dośrodkowa i trzecie prawo Keplera

Trzecia zasada ruchu planet Keplera stwierdza, że ​​kwadrat okresu obiegu, czyli czasu Czas potrzebny planecie na wykonanie jednego obiegu wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej Układu Słonecznego. orbita. To jest:

\({T^2} = C{r^3}\)

Gdzie \(T\) to okres obiegu \(C\), jest to stała, a \(r\) to półoś wielka, czyli maksymalna odległość między planetą a Słońcem na całej jej orbicie.

Dla uproszczenia rozważmy planetę o masie \(m\) poruszającą się po orbicie kołowej wokół Słońca, chociaż analizę tę można rozszerzyć na przypadek orbity eliptycznej i uzyskać to samo wynik. Siłą utrzymującą planetę na jej orbicie jest grawitacja, która będzie wynosić:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Gdzie \({F_g}\) to siła grawitacji, \({M_S}\) to masa Słońca, \(G\) to uniwersalna stała grawitacji, a \(r\) to odległość między planetami i słońce. Jeśli jednak planeta porusza się po orbicie kołowej, działa na nią siła dośrodkowa \({F_c}\), który utrzymuje go na wspomnianej trajektorii i że pod względem prędkości kątowej \(\omega \) będzie wynosić podane przez:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Ciekawostką jest to, że w tym przypadku grawitacja to siła dośrodkowa, która utrzymuje planetę na jej orbicie, w kilku słowach \({F_g} = {F_c}\), zatem możemy powiedzieć, że:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Co możemy uprościć jako:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Prędkość kątowa jest powiązana z okresem orbitalnym w następujący sposób:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Podstawiając to do poprzedniego równania otrzymujemy, że:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Przekształcając terminy, ostatecznie otrzymujemy, że:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

To ostatnie jest dokładnie Trzecim prawem Keplera, które przedstawiliśmy wcześniej i jeśli porównamy stałą proporcjonalności, będzie to \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

A co z siłą odśrodkową?

W przypadku tego rodzaju ruchu częściej mówi się o „siłze odśrodkowej” zamiast o sile dośrodkowej. Przede wszystkim dlatego, że najwyraźniej właśnie to czujemy, kiedy tego doświadczamy. Jednakże siła odśrodkowa jest siłą fikcyjną wynikającą z bezwładności.

Wyobraźmy sobie, że jedziemy samochodem, który jedzie z określoną prędkością i nagle hamuje. Kiedy to nastąpi, poczujemy siłę, która popycha nas do przodu, jednak ta pozorna siła, którą odczuwamy, to bezwładność naszego własnego ciała, które chce utrzymać swój stan ruchu.

W przypadku ruchu krzywoliniowego siła odśrodkowa jest bezwładnością ciała, które chce utrzymać swoje ruchu prostoliniowego, ale na który działa siła dośrodkowa, która utrzymuje go na zakrzywionym torze.

Bibliografia

Davida Hallidaya, Roberta Resnicka i Jearla Walkera. (2011). Podstawy fizyki. Stany Zjednoczone: John Wiley & Sons, Inc.