Definicija eksponentne funkcije

Eksponentna funkcija modelira različne naravne pojave ter socialne in ekonomske situacije, zato je pomembno prepoznati eksponentne funkcije v različnih kontekstih.

Spomnimo se, da za določeno število \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) na splošno velja, da za vsako \(n\ ) naravno število:

V primeru \(a \ne 0\) imamo to: \({a^0} = 1,\;\) v resnici, ko \(a \ne 0,\) je smiselno izvesti operacijo \ (\frac{a}{a} = 1;\) pri uporabi zakona eksponentov imamo:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Ko je \(a = 0\), prejšnje sklepanje nima smisla, zato izraz \({0^0},\) nima matematične razlage.

V primeru, da \(b > 0\) in velja, da \({b^n} = a,\), se reče, da je \(b\) n-ti koren od \(a\) in je običajno označen kot \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) ali \(b = \sqrt[n]{a}\).

Ko \(a < 0\), ne obstaja realno število \(b\), tako da \({b^2} = a;\), ker \({b^2} \ge 0;\;\ ), torej izrazi oblike \({a^{\frac{m}{n}}}\), ne bo upoštevano za \(a < 0.\) V naslednjem algebraičnem izrazu: \({a^n}\) \(a \ ) se imenuje osnova in \(n\) je imenovan eksponent, se \({a^n}\) imenuje potenca\(\;n\) od \(a\) ali se imenuje tudi \(a\) na potenco \(n,\;\)se upoštevati naslednje zakone od eksponentov:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\levo( {{a^n}} \desno)^m} = {a^{nm}} = {\levo( {{a^m}} \desno)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\levo( {\frac{1}{a}} \desno)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\levo( {ab} \desno)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\levo( {{a^{\frac{1}{n}}}} \desno)^m} = {\levo( {{a^m}} \desno)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) za vsak \(a \ne 0\)

Eksponentna funkcija ima obliko:

\(f\levo( x \desno) = {a^x}\)

kjer je \(a > 0\) konstanta in neodvisna spremenljivka eksponent \(x\).

Za analizo eksponentne funkcije bomo obravnavali tri primere

1. primer, ko je osnova \(a = 1.\)

V tem primeru \(a = 1,\) je funkcija \(f\left( x \desno) = {a^x}\) konstantna funkcija.

2. primer, ko je osnova \(a > 1\)

V tem primeru imamo naslednje:

Vrednost \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Funkcija \(f\levo( x \desno) = {a^x}\) je strogo naraščajoča funkcija, to je, če \({x_2} > {x_1}\), potem:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\levo( {{x_2}} \desno) > f\levo( {{x_1}} \desno)\)

Ko je pojav modeliran z eksponentno funkcijo, z \(a > 1\), pravimo, da predstavlja eksponentno rast.

Primer 2 Ko je osnova \(a < 1\).

Vrednost \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Ko \(a < 1\), je funkcija \(f\left( x \desno) = {a^x}\) strogo padajoča funkcija, to je, če \({x_2} > {x_1}\ ), torej:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\levo( {{x_2}} \desno) < f\levo( {{x_1}} \desno) \) Ko je pojav modeli z eksponentno funkcijo, z \(a < 1\), pravimo, da predstavlja upad ali zmanjšanje eksponentno. Naslednji graf prikazuje vedenje \({a^x}\) v treh različnih primerih.

Uporaba eksponentne funkcije

Primer 1 Rast prebivalstva

Označili bomo z \({P_0}\) začetno populacijo in z \(r \ge 0\) stopnjo rasti populacije, če stopnja populacije ostane konstantna skozi čas; funkcijo

\(P\levo( t \desno) = {P_0}{\levo( {1 + r} \desno)^t};\)

Poiščite populacijo v času t.

Praktični primer 1

Prebivalstvo Mehike v letu 2021 je 126 milijonov in predstavlja letno rast 1,1 %. Če se bo ta rast ohranila, koliko prebivalcev bo v Mehiki leta 2031, v letu 2021?

rešitev

V tem primeru \({P_o} = 126\) in \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\), zato morate uporabiti:

\(P\levo( t \desno) = {P_0}{\levo( {1 + .0011} \desno)^t}\)

Naslednja tabela prikazuje rezultate

leto	pretečen čas (\(t\))	Izračun	Prebivalstvo (milijoni)
2021	0	\(P\levo( t \desno) = 126{\levo( {1,0011} \desno)^0}\)	126
2031	10	\(P\levo( t \desno) = 126{\levo( {1,0011} \desno)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\levo( t \desno) = 126{\levo( {1,0011} \desno)^{30}}\)	174.95

Primer 2 Izračun obrestnih obresti

Banke ponujajo letno obrestno mero, vendar je realna obrestna mera odvisna od tega, za koliko mesecev jo vložite; Če vam je na primer ponujena letna obrestna mera r%, je dejanska mesečna obrestna mera \(\frac{r}{{12}}\)%, dvomesečna obrestna mera je \(\frac{r}{6}\)%, četrtletno je \(\frac{r}{4}\)%, četrtletno je \(\frac{r}{3}\)%, semester pa \(\frac{r}{2}\)%.

Praktični primer 2

Recimo, da vložite 10.000 v banko in vam ponudijo naslednje letne obrestne mere:

Vezani depoziti	Letna stopnja	obdobja v letu	dejanska stopnja	Zbran denar v \(k\) mesecih
dva meseca	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\levo( {1 + 0,00091667} \desno)^{\frac{k}{2}}}\)
tri mesece	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\levo( {1 + 0,00461667} \desno)^{\frac{k}{3}}}\)
šest mesecev	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\levo( {1 + 0,0078} \desno)^{\frac{k}{6}}}\)

Število \(e\), Eulerjev stalni in zvezni interes.

Zdaj pa predpostavimo, da imamo začetni kapital \(C\) in ga investiramo po fiksni obrestni meri \(r > 0\), leto pa razdelimo na \(n\) obdobij; kapital, zbran v enem letu, je enak:

\(A = \;C{\levo( {1 + \frac{r}{n}} \desno)^n}\)

Za analizo, kako se akumulirani kapital obnaša, ko \(n\), raste, bomo akumulirani kapital prepisali v enem letu:

\(A = \;C{\levo( {1 + \frac{r}{n}} \desno)^n}\)\(A = \;C{\levo( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \desno)^{\levo( {\frac{n}{r}} \desno) r}},\)

delamo \(m = \frac{n}{r}\), dobimo:

\(A = C{\levo( {1 + \frac{1}{m}} \desno)^{mr}}\)\(A = C{\levo( {{{\levo( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

Ko \(n\) raste, raste tudi \(m = \frac{n}{r}.\)

Ko \(m = \frac{n}{r},\) raste, se izraz \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) približuje temu, kar imenujemo Eulerjeva konstanta ali število:

\(e \približno 2,718281828 \lpik .\)

Eulerjeva konstanta nima končnega ali periodičnega decimalnega izraza.

Imamo naslednje približke

\(C{\levo( {{{\levo( {1 + \frac{1}{m}} \desno)}^m}} \desno)^r} \približno C{e^r},\) \(C{\levo( {1 + \frac{r}{n}} \desno)^{ns}} \približno C{e^{rs}}.\)

Na izraz:

\(A = \;C{e^r},\)

Razlagamo ga lahko na dva načina:

1.- Kot največji znesek, ki ga lahko zberemo v enem letu, ko vložimo kapital \(C,\;\) po letni stopnji \(r.\)

2.- Kot znesek, ki bi ga akumulirali v enem letu, če bi naš kapital nenehno ponovno vlagali po letni stopnji \(r.\)

\(T\levo( s \desno) = \;C{e^{rs}},\)

je znesek, zbran, če se \(s\) let vlaga z neprekinjenimi obrestmi.

Konkreten primer 3

Zdaj se vrnemo k delu konkretnega primera 2, kjer je letna obrestna mera 0,55% v dvomesečnih obrokih. Izračunajte kapital, ki se nabere, če je začetni kapital 10.000 in se reinvestira pol leta, dve leti, 28 mesecev.

\(10{\levo( {1,00091667} \desno)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

kot kaže spodnja tabela, vrednost \(m = \frac{n}{r},\) ni "majhna" in zgornja tabela kaže, da \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) je blizu Eulerjeve konstante.

Čas	Število obdobij (\(k\))	Akumulirani kapital v tisočih, ponovno vložen vsaka dva meseca
Pol leta	3	\(10{\levo( {1,00091667} \desno)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Dve leti	12	\(10{\levo( {1,00091667} \desno)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 mesecev	19	\(10{\levo( {1,00091667} \desno)^{19}} = 10.\;175612\)

Čas	Čas v letih (\(s\))	Akumulirani kapital, v tisočih, investirajte z nenehnimi obrestmi
Pol leta	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\levo( {\frac{1}{2}} \desno)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Dve leti	\(s = 2\)	\(10{\levo( {1,00091667} \desno)^{0,0055\levo( 2 \desno)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 mesecev	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\levo( {1,00091667} \desno)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Primer 2 Amortizacija

Praktični primer 1

Računalnik se vsako leto amortizira za 30 %, če računalnik stane 20.000 ameriških dolarjev, določite ceno računalnika za \(t = 1,12,\;14,\;38\) mesece.

V tem primeru ima nekdo:

\(P\levo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\levo( {1 – 0,30} \desno)^t}\)

Z \(t\) v letih dobimo z zamenjavo \(t\) v naslednji tabeli

čas v mesecih	čas v letih	izračuni	Številčna vrednost
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\levo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\levo( {1 – .30} \desno)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\levo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\levo( {1 – .30} \desno)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\levo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\levo( {1 – .30} \desno)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\levo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\levo( {1 – .30} \desno)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859