Дефиниција квадратне функције

Квадратна функција реалне променљиве чији је облик изражен.

\(ф\лево( к \десно) = а{к^2} + бк + ц\)

Где је променљива \(к\), \(а, б\) и ц су реалне константе, које се називају коефицијенти квадратне функције са \(а \не 0.\)

Табела даје опште примере квадратних функција и ситуације које могу да моделују, да би касније илустровале њихову директну примену из стварних проблема.

Квадратна функција	Ситуација коју можете моделирати
\(ф\лево( к \десно) = {к^2}\)	Променљива \(и\) је површина квадрата чија страница мери \(к\).
\(ф\лево( к \десно) = \пи {к^2}\)	Променљива \(и\) је површина круга чији је полупречник \(к\).
\(ф\лево( к \десно) = 100 – 4,9{к^2}\)	Променљива \(и\) је висина објекта који је испуштен на висини од 100, а \(к\) је протекло време.
\(ф\лефт( к \десно) = 60\лефт( {{\бф{син}}45^\цирц } \десно) к – 4.9{к^2}\)	Променљива \(и\) је висина топовске кугле бачене под углом од 45° са брзином од 60 м/с, а \(к\) је протекло време.

Општа формула и квадратна функција

Ако је за \(к = \алпха \) квадратна функција нула, онда је број \(\алпха \) назива се кореном квадратне функције, да, \(\алпха \) је решење квадратне једначине

\(а{к^2} + бк + ц = 0\)

Општа формула за решавање квадратних једначина коју имамо да су корени квадратне функције:

\(\алпха = \фрац{{ – б + \скрт {{б^2} – 4ац} }}{{2а}},\;\;\бета = \фрац{{ – б – \скрт {{б ^2} – 4ац} }}{{2а}}\)

Из наведеног се успоставља следећи однос између корена и коефицијената квадратне функције:

\(\алпха + \бета = – \фрац{б}{а},\;\;\алпха \бета = \фрац{ц}{а}\)

Кроз истакнуте производе успоставља се следећи идентитет:

\(а{к^2} + бк + ц = а\лефт( {к – \алпха} \десно)\лефт( {к – \бета} \десно)\)

На сличан начин као што је утврђено у општој формули, установљено је да се квадратна функција може изразити у облику:

\(ф\лефт( к \ригхт) = а{\лефт( {к – х} \ригхт)^2} + к\)

Са \(х = – \фрац{б}{{2а}}\) и \(к = – \фрац{{{б^2} – 4ац}}{а}\)

Решавањем једначине:

\(а{\лефт( {к – х} \десно)^2} + к = 0\)

Се добија:

\(\лево| {к – х} \десно| = \скрт { – \фрац{к}{а}} \)

\(к = х \пм \скрт { – \фрац{к}{а}} \)

Из наведеног се може закључити да је \(ф\лефт( к \ригхт) = а{\лефт( {к – х} \ригхт)^2} + к\), само ако су константе \(к\) и \(а\) су од супротних знакова, ова квадратна функција има реалне корене, а то су: \(х + \скрт { – \фрац{к}{а}} ,\;\;х – \скрт { – \фрац{к}{а} } \).

Ако константе \(к\) и \(а\) имају исти предзнак онда квадратна функција нема реалне корене.

Када је \(к = 0,\;\;\)квадратна функција има само један корен.

Примери примењени на стварни живот

Пример примене 1: Економија

Школа жели да организује фудбалски турнир где сваки тим игра са сваким другим тимом само једном. Постоји буџет од 15.600 долара за трошкове арбитраже, ако је цена арбитраже 200 долара по игри. Колико тимова може да се пријави за турнир?

Изјава проблема: Морамо пронаћи функцију која израчунава број подударања када имамо \(н\) тимове да их пребројимо, претпоставићемо да тим 1 игра први са свим осталима, односно \(н – 1\) утакмице. Тим 2 би сада играо са свим осталима, односно са \(н – 2\), пошто ће већ играти са тимом 1. Тим 3 ће већ играти са тимовима 1 и 2, тако да би морали да играју са н-3 тима.

Са горњим образложењем долазимо до:

\(ф\лефт( н \десно) = н – 1 + н – 2 + \лдотс + 2 + 1\)

\(ф\лефт( н \ригхт) = \фрац{{н\лефт( {н – 1} \ригхт)}}{2}\)

Функција трошкова је:

\(Ц\лефт(н \десно) = 200ф\лефт(н \ригхт) = 100н\лефт( {н – 1} \десно)\)

Са буџетом од 15.600 долара, имамо једначину:

\(100н\лево( {н – 1} \десно) = 15600\)

решење једначине

\(100н\лефт( {н – 1} \десно) = 15600\) Почетна ситуација
\(н\лефт( {н – 1} \десно) = 156\) Поделите сваку страну једначине са 100
\({н^2} – н – 156 = \) Додајте \( – 156\) свакој страни једначине
\(\лефт( {н – 13} \десно)\лефт( {н + 12} \десно) = 0\) Имамо \(\лефт( { – 13} \ригхт)\лефт( {12} \ригхт ) = – 156\) и \( – 13 + 12 = – 1\)
Било је урачунато.
Решења једначине \(н = – 12,\;13\)
Одговор: Буџет је довољан да се пријави 13 екипа.

Пример примене 2: Економија

Једно градско аутобуско предузеће приметило је да сваки његов аутобус за осмочасовни дан превезе у просеку хиљаду путника. Да бисте били у позицији да својим радницима дате повишицу, мораћете да повећате цену карте, која тренутно износи 5 долара; Економиста је израчунао да ће за сваки пезос за који цена карте порасте, сваки камион изгубити у просеку 40 путника сваког дана. Компанија је израчунала да, да би покрила повећање плата, мора да добије додатних 760 долара по камиону сваког дана.Колико мора да порасте цена карте?

Изјава задатка: Нека је \(к\) количина пезоса у којој ће карта порасти, за коју је \(5 + к\) нова цена карте. Са овим истим повећањем, сваки камион ће у просеку превозити \(1000 – 40к\) путника дневно.

Коначно, приход по камиону је:

\(И\лефт( к \десно) = \лефт( {5 + к} \десно)\лефт( {1000 – 40к} \десно) = – 40\лефт( {к + 5} \десно)\лефт( {к – 25} \десно)\)

Да би покрио повећање плата, сваки аутобус мора да прикупи: \(1000\лево( 5 \десно) + 760 = 5760\)

Коначно имамо једначину:

\( – 40\лево( {к + 5} \десно)\лево( {к – 25} \десно) = 5760\)

решење једначине
\( – 40\лево( {к + 5} \десно)\лево( {к – 25} \десно) = 5760\) Почетна ситуација
\(\лефт( {к + 5} \десно)\лефт( {к – 25} \ригхт) = – 144\) Подели са \( – 40\) сваку страну једначине
\({н^2} – 20н – 125 = – 144\) Развијен је изванредан производ
\({н^2} – 20н + 19 = 0\) 144 је додато сваком
\(\лефт( {н – 19} \десно)\лефт( {н – 1} \десно) = 0\) Имамо \(\лефт( { – 19} \десно)\лефт( { – 1} \ десно) = 19\) и \( – 19 – 1 = – 20\)
факторед
Решења једначине \(н = 1,19\)
Одговор: Цена карте може порасти за $1 или $19 пезоса.

Пример примене 3: Економија

Продавница хлеба у просеку прода 1.200 пецива недељно по 6 долара. Једног дана је одлучио да подигне цену на 9 долара по комаду; сада је њена продаја опала: у просеку прода само 750 ролни недељно. Колика би требало да буде цена сваке лепиње да би приход продајног места био што већи? Претпоставимо да постоји линеарна веза између потражње и цене.

Изјава проблема: Под претпоставком да постоји линеарна веза између потражње Д и цене \(к,\).

\(Д = мк + б\)

Када је \(к = 6;Д = 1200;\;\) што генерише једначину:

\(1200 = 6м + б\)

Када је \(к = 9; Д = 750; \; \) ло и добија се једначина:

\(750 = 9м + б\)

Решавајући систем једначина, однос потражње и цене је:

\(Д = – 150к + 2100 = – 150\лево( {к – 14} \десно)\)

Приход је једнак

\(И\лево( к \десно) = Дк = – 150к\лево( {к – 14} \десно)\)

Решење

Графикон прихода у параболи који се отвара надоле и његова максимална вредност је достигнута на врху који се може наћи усредњавањем корена квадратне функције која моделира прихода. Корени су \(\алпха = 0,\;\;\бета = 14\).

\(х = \фрац{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(И\лево( х \десно) = – 150\лево( 7 \десно)\лево( {7 – 14} \десно) = 7350\)

Одговор

Максимални приход је 7.350 долара и постиже се са ценом од 7 долара; продаје, у просеку, 1050 ролни недељно.

Пример примене 4: Економија

Трошкови производње \(н\) столица у једном дану могу се израчунати помоћу квадратне функције:

\(Ц\лево(н\десно) = {н^2} – 200н + 13000\)

Одредите минимални трошак који се може постићи.

Изјава о проблему

Графикон \(Ц\лефт( н \ригхт)\) је парабола која се отвара нагоре и достиже своју минималну тачку у \(х = – \фрац{б}{{2а}} = – \фрац{{\ лево( { – 200} \десно)}}{{2\лево( 1 \десно)}} = 100\)

\(Ц\лефт( {100} \ригхт) = {\лефт( {100} \ригхт)^2} – 200\лефт( {100} \ригхт) + 13000 = 3000\)

Одговор

Најнижа могућа цена је 3000 долара и постиже се производњом 100 столица.

Пример примене 5: Геометрија

Ромб има површину од 21 цм2; Ако је збир дужина његових дијагонала 17 цм, колика је дужина сваке дијагонале ромба?

Навод проблема: Површина ромба се израчунава са:

\(А = \фрац{{Дд}}{2}\)

Са \(Д\) и \(д\) дужинама његових дијагонала, такође је познато:

\(Д + д = 7\)

\(Д = 17 – д\)

Заменом добијате:

\(А = \фрац{{\лефт( {17 – д} \десно) д}}{2}\)

Коначно добијамо једначину

\(\фрац{{\лефт( {17 – д} \десно) д}}{2} = 21\)

Решење
\(\фрац{{\лефт( {17 – д} \десно) д}}{2} = 21\) Почетна ситуација
\(\лефт( {17 – д} \десно) д = 42\) Помножите са \( – 40\) сваку страну једначине
\({д^2} – 17д + 42 = 0\) Производ је развијен.
\(\лефт( {д – 14} \десно)\лефт( {д – 3} \десно) = 0\) Имамо \(\лефт( { – 14} \десно)\лефт( { – 3} \ десно) = 42\) и \( – 14 – 3 = – 17\)
факторед
Решења једначине \(д = 3,14\)
Одговор:

Дијагонале ромба су 14 цм и 3 цм.

Пример примене 6: Геометрија

Пожељно је изградити правоугаони кокошињац од 140 м2, користећи прилично дугачку ограду која ће формирати дно кокошињца. Остале три стране ће бити изграђене са 34 линеарна метра жичане мреже, колика би требало да буде дужина и ширина кокошињца да би се искористила укупна мрежа?

Под истим условима, која је максимална површина која се може оградити истом мрежом?

Исказ проблема: Према дијаграму, површина је једнака:

\(А\лево( к \десно) = к\лево( {34 – 2к} \десно) = 2к\лево( {17 – к} \десно)\)

Где је \(к\) дужина странице управне на ограду.

Да бисте знали мере правоугаоника тако да има површину од 140 м2, довољно је решити једначину

\(2к\лево( {17 – к} \десно) = 140\)

Пошто је график \(А\лефт( к \ригхт)\) парабола која се отвара надоле да би се израчунала максимална вредност површине, довољно је израчунати врх параболе.

Одговори
Мере правоугаоника површине 140 м2
Дужина бочне стране управно на ограду

\(к\) Дужина странице паралелне са оградом

\(34 – 2к\)
10 14
7 20

Прва координата темена је \(х = \фрац{{17}}{2}\) и

\(А\лево( х \десно) = \фрац{{289}}{2}\)

Површина је максимална када окомита страница мери \(\фрац{{17}}{2}\;\)м, а паралелна страница мери 17м, она мери 17м, вредност максималне достигнуте површине је \(\фрац{ {289}} {2}\)м2.

График квадратне функције

Са геометријске тачке гледишта, корени су тачке у којима график функције сече осу \(к\).

Из израза

\(ф\лефт( к \ригхт) = а{\лефт( {к – х} \ригхт)^2} + к,\)

Установићемо општи облик графика квадратне функције.

Први случај \(а > 0\) и \(к > 0\)

\(ф\лефт( к \ригхт) = а{\лефт( {к – х} \ригхт)^2} + к\)

\(Икс\)	\(ф\лево( к \десно)\)
\(х – 1\)	\(а + к\)
\(х – 2\)	\(4а + к\)
\(х – 3\)	\(9а + к\)
\(х – 4\)	\(16а + к\)
\(х\)	\(к\)
\(х + 1\)	\(а + к\)
\(х + 2\)	\(4а + к\)
\(х + 3\)	\(9а + к\)
\(х + 4\)	\(16а + к\)

У овом случају график задовољава:

Симетрично: Са осом симетрије \(к = х = – \фрац{б}{{2а}}.\) То је \(ф\лефт( {х – с} \десно) = ф\лефт( {х + с} \десно)\)

Налази се изнад \(к\) осе и не сече је. То јест, \(ф\лефт( к \ригхт) > 0\) нема правих корена.

Најнижа тачка на графику је у тачки \(\лефт( {х, к} \десно)\). То је \(ф\лефт( к \десно) \ге ф\лефт( х \ригхт) = к\)

Други случај \(а < 0\) и \(к < 0\)

\(ф\лефт( к \ригхт) = а{\лефт( {к – х} \ригхт)^2} + к\)

\(Икс\)	\(ф\лево( к \десно)\)
\(х – 1\)	\(а + к\)
\(х – 2\)	\(4а + к\)
\(х – 3\)	\(9а + к\)
\(х – 4\)	\(16а + к\)
\(х\)	\(к\)
\(х + 1\)	\(4а + к\)
\(х + 2\)	\(9а + к\)
\(х + 3\)	\(4а + к\)
\(х + 4\)	\(16а + к\)

У овом случају график задовољава:

Симетрично: Са осом симетрије \(к = х = – \фрац{б}{{2а}}.\) То је \(ф\лефт( {х – с} \десно) = ф\лефт( {х + с} \десно)\)

Налази се испод \(к\) осе и не сече је. То јест, \(ф\лефт( к \ригхт) < 0\) нема правих корена. Највиша тачка на графику је у тачки \(\лефт( {х, к} \десно)\). То је \(ф\лефт( к \ригхт) \ле ф\лефт( х \ригхт) = к\) Трећи случај \(а > 0\) и \(к \ле 0\).

Овај случај је сличан првом случају, разлика је у томе што сада имамо један прави корен (када је \(к = 0\) ) или два реална корена.

У овом случају график задовољава:

Симетрично: Са осом симетрије \(к = х = – \фрац{б}{{2а}}.\) То је \(ф\лефт( {х – с} \десно) = ф\лефт( {х + с} \десно)\)

Сече осу \(к\), односно има најмање један прави корен.

Најнижа тачка на графику је у тачки \(\лефт( {х, к} \десно)\). То је \(ф\лефт( к \десно) \ге ф\лефт( х \ригхт) = к\)

Четврти случај \(а < 0\) и \(к \ге 0\). Овај случај је сличан другом случају, разлика је у томе што сада имамо један прави корен (када је \(к = 0\) ) или два реална корена. У овом случају график задовољава:

Симетрично: Са осом симетрије \(к = х = – \фрац{б}{{2а}}.\) То је \(ф\лефт( {х – с} \десно) = ф\лефт( {х + с} \десно)\)

Најнижа тачка на графику је у тачки \(\лефт( {х, к} \десно)\). То је \(ф\лефт( к \ригхт) \ле ф\лефт( х \ригхт) = к\)

Графикон квадратне функције назива се парабола и њени елементи за истицање су оса симетрије, тачке у којима се она сече на \(к\) осу и врх, што је тачка на графику функције у којој она достиже своју најнижу или највишу тачку у зависности од случај.

На основу спроведене анализе можемо констатовати:

Парабола повезана са квадратном функцијом \(ф\лефт( к \ригхт) = а{к^2} + бк + ц\) има свој врх у \(\лефт( {х, к} \ригхт)\) где је :

\(х = – \фрац{б}{{2а}},\;\;к = ф\лефт( х \десно)\)

примери

Квадратна функција \(и = {к^2}\)	важни елементи
Теме параболе	\(\лево( {0,0} \десно)\)
Оса симетрије параболе	\(к = 0\)
Пресјеци са \(к\) осом	\(\лево( {0,0} \десно)\)

Квадратна функција \(и = – \фрац{1}{2}{\лефт( {к – 2} \десно)^2}\)	важни елементи
Теме параболе	\(\лево( {2,0} \десно)\)
Оса симетрије параболе	\(к = 2\)
Пресјеци са \(к\) осом	\(\лево( {2,0} \десно)\)

Квадратна функција \(и = {\лефт( {к + 2} \десно)^2} – 4\)	важни елементи
Теме параболе	\(\лево( { – 2, – 4} \десно)\)
Оса симетрије параболе	\(к = – 2\)
Пресјеци са \(к\) осом	\(\лефт( { – 4,0} \десно);\лефт( {0,0} \десно)\)

Квадратна функција \(и = – \фрац{1}{2}{\лефт( {к – 9} \десно)^2} + 8\)	важни елементи
Теме параболе	\(\лево( {9,8} \десно)\)
Оса симетрије параболе	\(к = 9\)
Пресјеци са \(к\) осом	\(\лево( {5,0} \десно);\лево( {13,0} \десно)\)

Квадратна функција \(и = {к^2} + 1\)	важни елементи
Теме параболе	\(\лево( {0,1} \десно)\)
Оса симетрије параболе	\(к = 0\)
Пресјеци са \(к\) осом	Нема

Квадратна функција \(и = – \фрац{1}{2}{\лефт( {к – 2} \десно)^2} – 1\)	важни елементи
Теме параболе	\(\лево( {2, – 1} \десно)\)
Оса симетрије параболе	\(к = 2\)
Пресјеци са \(к\) осом	Нема

Ако постоје реални корени квадратне функције, можемо да нацртамо њену придружену параболу из њих. Претпоставимо да је \(ф\лефт( к \ригхт) = а\лефт( {к – \алпха} \ригхт)\лефт( {к – \бета} \ригхт)\)

За ово се мора узети у обзир следеће:

\(\алпха + \бета = – \фрац{б}{а}\)

\(\фрац{{\алпха + \бета }}{2} = – \фрац{б}{{2а}} = х\)

Као

\(к = ф\лево(х \десно)\)

\(к = ф\лево( {\фрац{{\алпха + \бета}}{2}} \десно)\)

\(к = а\лефт( {\фрац{{\алпха + \бета }}{2} – \алпха } \десно)\лефт( {\фрац{{\алпха + \бета }}{2} – \ бета } \десно)\)

\(к = – \фрац{а}{4}{\лефт( {\алпха – \бета} \десно)^2}\)

примери

Скицирајте график квадратне функције \(ф\лефт( к \ригхт) = \фрац{1}{4}\лефт( {к – 3} \ригхт)\лефт( {к + 6} \ригхт)\)

Решење

Корени су \(\алпха = 3\;\) и \(\бета = – 6\); онда \(х = \фрац{{3 – 6}}{2} = – \фрац{3}{2}\).

\(к = ф\лефт( { – \фрац{3}{2}} \ригхт) = 2\лефт( { – \фрац{3}{2} – 3} \ригхт)\лефт( { – \фрац {3}{2} + 6} \десно) = \фрац{1}{4}\лефт( { – \фрац{9}{2}} \десно)\лефт( {\фрац{9}{2}} \ригхт) = – \фрац{{81}}{{16}}\)

Дакле, можемо да направимо следећу табелу

\(ф\лефт( к \десно) = 2\лефт( {к – 3} \десно)\лефт( {к + 6} \десно)\)	важни елементи
Теме параболе	\(\лево( { – \фрац{3}{2}, – \фрац{{81}}{2}} \десно)\)
Оса симетрије параболе	\(к = – \фрац{{81}}{2}\)
Пресјеци са \(к\) осом	\(\лефт( { – 6,0} \десно)\;,\;\лефт( {3,0} \десно)\)

Да бисте скицирали график функције:

\(ф\лево( к \десно) = 3{к^2} – 18к + 4\)

Користићемо исте идеје које смо већ користили; За ово ћемо прво одредити врх.

У овом случају, \(а = 3;б = – 12,\;ц = 4\).

Пошто је \(а > 0\), парабола „ће се отворити и \(х = – \фрац{б}{{2а}} = – \лефт( {\фрац{{ – 18}}{{3\лефт ( 2 \десно)}}} \десно) = 3.\) Затим ћемо израчунати \(к:\)

\(к = ф\лефт( х \десно) = ф\лефт( 3 \ригхт) = 3{\лефт( 3 \ригхт)^2} – 18\лефт( 3 \ригхт) + 4 = – 23\)

Тем параболе је у \(\лефт( {3, – 23} \десно)\) и пошто се отвара нагоре, онда ће парабола пресећи осу \(к\;\) и њена оса симетрије је \ (к = 3\).

Сада размотримо квадратну функцију

\(ф\лево( к \десно) = – 5{к^2} + 10к – 9\)

У овом случају, \(а = 3;б = – 12,\;ц = 4\).

Пошто је \(а < 0\), парабола ће се „отворити“ надоле и \(х = - \фрац{б}{{2а}} = - \лефт( {\фрац{{10}}{{\лефт( 2 \десно)\лево( { - 5} \десно)}}} \десно) = 1.\) А Затим ћемо израчунати \(к:\) \(к = ф\лефт( х \ригхт) = ф\лефт( 1 \ригхт) = - 5{\лефт( 1 \ригхт)^2} + 10\лефт( 1 \ десно) - 9 = - 4\) Тем парабола је у \(\лефт( {1, - 4} \десно)\) и пошто се отвара надоле, онда парабола неће пресећи осу \(к\;\) и њена оса симетрије је \(к = 1.\)