Дефиниција мешовитих, јединичних, хомогених и хетерогених фракција

Помешан. Мешовити разломак се састоји од целог броја већег или једнаког један и правилног разломка, опште правопис разломка мешовити је облика: \(а + \фрац{ц}{д},\) чије је компактно писање: \(а\фрац{ц}{д},\;\), односно: \(а\ разломак{ц}{д} = а + \фрац{ц}{д}\). Број \(а\) се назива целобројним делом мешовитог разломка, а \(\фрац{ц}{д}\) његовим разломком.

хомоген. Ако два или више разломака имају исти именилац, каже се да су као разломци. На пример, разломци \(\фрац{3}{4},\) \(\фрац{7}{4},\) \(\фрац{1}{4},\) \(\фрац{{ 10}}{4}\) су хомогени јер сви имају исти именилац, који је у овом случају \(4\). Док су разломци \(\фрац{3}{4},\) \(\фрац{7}{4},\) \(\фрац{1}{4},\) \(\фрац{5} { 2}\) нису хомогене разломке пошто је именилац \(\фрац{5}{2}\) \(2\), а именилац осталих разломака је \(4\). Једна од предности хомогених разломака је у томе што су аритметичке операције сабирања и одузимања функција веома једноставне.

хетерогена. Ако два или више разломака, најмање два од њих немају исти именилац, онда се за ове разломке каже да су хетерогени разломци. Следећи разломци су хетерогени: \(\фрац{3}{5},\;\) \(\фрац{7}{5}\), \(\фрац{1}{4},\) \(\ фрац{2}{5}\).

јединствена. Разломак се идентификује као јединица ако је бројилац једнак 1 \(1,\) \(2\). Следећи разломци су примери јединичних разломака: \(\фрац{1}{2},\;\) \(\фрац{1}{3}\), \(\фрац{1}{4}\), \(\;\фрац{1}{5}\).

Глаголско изражавање мешовитог разломка

мешана фракција	Вербално изражавање
\(3\фрац{1}{2} = \)	Три и по цела
\(5\фрац{3}{4} = \)	Пет целих бројева и три четвртине
\(10\фрац{1}{8} = \)	Десет целих бројева са осмом

Претварање мешовитог разломка у неправилан разломак

Мешовите фракције су корисне за процену, на пример, лако је установити:

\(5\фрац{1}{{20}} > 4\фрац{9}{{10}}\)

Међутим, мешовити разломци су обично непрактични за обављање операција као што су множење и дељење, због чега је важно како се претворити у мешовити разломак.

Претходна цифра представља мешовити разломак \(2\фрац{3}{4}\), сада се сваки цео број састоји од четири четвртине, дакле у 2 цела броја има 8 четвртина и њима морамо додати остале 3 четвртине, тј. реци:

\(2\фрац{3}{4} = \фрац{{2\лефт( 4 \ригхт) + 3}}{4} = \фрац{{11}}{4}\)

Обично:

\(а\фрац{ц}{д} = \фрац{{ад + ц}}{д}\)

Следећа табела приказује друге примере.

мешана фракција	Операције које треба извршити	неправилан разломак
\(3\фрац{1}{2}\)	\(\фрац{{3\лефт( 2 \десно) + 1}}{2}\)	\(\фрац{7}{2}\)
\(5\фрац{3}{4}\)	\(\фрац{{5\лефт( 4 \десно) + 3}}{4}\)	\(\фрац{{23}}{4}\)
\(10\фрац{1}{8}\)	\(\фрац{{10\лефт( 8 \десно) + 1}}{8}\)	\(\фрац{{81}}{8}\)

Претварање неправилног разломка у мешовити разломак

Да бисте претворили неправилан разломак у мешовити разломак, израчунајте количник и остатак дељења бројиоца са имениоцем. Добијени количник ће бити цео део мешовитог разломка, а прави разломак ће бити \(\фрац{{{\рм{остатак}}}}{{{\рм{именилац}}}}\)

Пример

Да бисте претворили \(\фрац{{25}}{7}\) у мешовити разломак:

За извршене операције добијамо:

Доња табела приказује друге примере.

неправилан разломак	Израчунавање количника и остатка	неправилан разломак
\(\фрац{{25}}{7}\)		\(3\фрац{4}{7}\)
\(\фрац{{35}}{8}\)		\(4\фрац{3}{8}\)
\(\фрац{{46}}{5}\)		\(9\фрац{1}{5}\)

Свакодневна употреба мешовитих и правилних фракција

У свакодневном животу треба да меримо, купујемо, упоређујемо цене, нудимо попусте; за мерење су нам потребне јединице мере и они не нуде увек целе јединице производа и не плаћате увек целом количином новчића јединице.

На пример, уобичајено је да се одређене течности продају у контејнерима чији је садржај \(\фрац{3}{4}\;\) од литра, пола галона или галон и по. Можда када одете да купите цев тражите \(\фрац{1}{8},\;\) \(\фрац{7}{8},{\рм{\;}}\) \({ \рм {3}}\фрац{1}{2}\) и не морате да кажете јединицу мере, која је у овом случају инч.

Основне операције сличних разломака

Збир \(\фрац{3}{4}\) и \(\фрац{2}{4}\), приказан је на следећој шеми:

\(\фрац{3}{4} + \фрац{2}{4} = \фрац{{{3 + 2}}{4} = \фрац{5}{4}\)

Док се одузимање врши на следећи начин:

\(\фрац{3}{4} – \фрац{2}{4} = \фрац{{{3 – 2}}{4} = \фрац{1}{4}\)

Генерално, за хомогене фракције:

\(\фрац{а}{д} + \фрац{б}{д} = \фрац{{а + б}}{д}\)

\(\фрац{а}{д} – \фрац{б}{д} = \фрац{{а – б}}{д}\)

Египћани и јединични разломци

Египатска култура је постигла изванредан технолошки развој и то се не би догодило без развоја на нивоу математике. Постоје историјски остаци где можете пронаћи записе о употреби разломака у египатској култури, са посебношћу, они су користили само јединствене разломке.

Постоји неколико случајева где је писање разломка као збира јединичних разломака једноставно као

\(\фрац{3}{н} = \фрац{1}{н} + \фрац{1}{{2н}}\)

У случају да је \(н = 2к + 1\), односно непаран, имамо:

\(\фрац{2}{н} = \фрац{1}{{к + 1}} + \фрац{1}{{н\лефт( {к + 1} \десно)}}\)

То ћемо илустровати са два примера.

За изражавање \(\фрац{2}{{11}}\); у овом случају имамо \(11 = 2\лефт( 5 \десно) + 1\), дакле:

\(\фрац{2}{{11}} = \фрац{1}{6} + \фрац{1}{{11\лефт( 6 \ригхт)}},\)

односно,

\(\фрац{2}{{11}} = \фрац{1}{6} + \фрац{1}{{66}}\)

За изражавање \(\фрац{2}{{17}}\); у овом случају имамо \(17 = 2\лево( 8 \десно) + 1\),

\(\фрац{2}{{15}} = \фрац{1}{8} + \фрац{1}{{120}}\)

Затим приказујемо неке разломке као збир јединичних разломака,

Фрацтион	Израз као збир јединичних разломака	Фрацтион	Израз као збир јединичних разломака
\(\фрац{3}{н}\)	\(\фрац{1}{н} + \фрац{1}{{2н}}\)	\(\фрац{5}{8}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{8}\)
\(\фрац{2}{3}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{6}\)	\(\фрац{7}{8}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{4} + \фрац{1}{8}\)
\(\фрац{3}{4}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{4}\)	\(\фрац{2}{9}\)	\(\фрац{1}{5} + \фрац{1}{{45}}\)
\(\фрац{3}{5}\)	\(\фрац{1}{5} + \фрац{1}{{10}}\)	\(\фрац{5}{9}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{{18}}\)
\(\фрац{4}{5}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{4} + \фрац{1}{{20}}\)	\(\фрац{7}{9}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{4} + \фрац{1}{{36}}\)
\(\фрац{5}{6}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{3}\)	\(\фрац{8}{9}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{3} + \фрац{1}{{18}}\)
\(\фрац{3}{7}\)	\(\фрац{1}{3} + \фрац{1}{{11}} + \фрац{1}{{231}}\)	\(\фрац{4}{9}\)	\(\фрац{1}{3} + \фрац{1}{9}\)
\(\фрац{4}{7}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{{14}}\)	\(\фрац{5}{9}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{{18}}\)
\(\фрац{5}{7}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{5} + \фрац{1}{{10}}\)	\(\фрац{5}{9}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{{18}}\)
\(\фрац{6}{7}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{3} + \фрац{1}{{42}}\)	\(\фрац{{19}}{{20}}\)	\(\фрац{1}{2} + \фрац{1}{4} + \фрац{1}{5}\)

Користећи претходну табелу можемо сабирати разломке и изразити такве суме; као збир јединичних разломака.

Примери хетерогених фракција

Пример 1

\(\фрац{2}{5} + \фрац{4}{9} = \лефт( {\фрац{1}{3} + \фрац{1}{{15}}} \десно) + \лефт ( {\фрац{1}{3} + \фрац{1}{9}} \десно)\)

\(\фрац{2}{5} + \фрац{4}{9} = \фрац{2}{3} + \фрац{1}{{15}} + \фрац{1}{9}\)

\(\фрац{2}{5} + \фрац{4}{9} = \лефт( {\фрац{1}{2} + \фрац{1}{6}} \десно) + \фрац{1 {{15}} + \фрац{1}{9}\)

Пример 2

\(\фрац{4}{7} + \фрац{5}{9} = \лефт( {\фрац{1}{2} + \фрац{1}{{14}}} \ригхт) + \лефт ( {\фрац{1}{2} + \фрац{1}{{18}}} \десно)\)

\(\фрац{2}{7} + \фрац{5}{9} = 1 + \фрац{1}{{14}} + \фрац{1}{{18}}\)

Коначно, исти разломак можемо изразити као збир јединичних разломака на другачији начин као:

\(\фрац{8}{{63}} = \фрац{1}{8} + \фрац{1}{{504}}\)

\(\фрац{8}{{63}} = \фрац{1}{9} + \фрац{1}{{63}}\)

\(\фрац{8}{{63}} = \фрац{1}{{14}} + \фрац{1}{{18}}\)