Како је дефинисана Талесова теорема?

Из Талесове теореме, с обзиром на неколико паралелних правих, каже се да је права \(Т\) трансверзална на паралелне праве ако сече сваку од паралелних правих.

На слици 1, праве \({Т_1}\) и \({Т_2}\) су попречне у односу на паралелне праве \({Л_1}\) и \({Л_2}.\)

Талесова теорема (слаба верзија)
Ако неколико паралела одређују подударне сегменте (који мере исто) у једној од своје две попречне праве, оне ће такође одредити конгруентне сегменте у другим трансверзалама.

На слици 2, црне линије су паралелне и морате:
\({А_1}{А_2} = {А_2}{А_3} = {А_3}{А_4}.\)
Можемо да обезбедимо следеће:
\({Б_1}{Б_2} = {Б_2}{Б_3} = {Б_3}{Б_4}.\)

Кажу да је мудри Талес из Милета измерио висину Кеопсове пирамиде, за то је користио сенке и примену својстава сличности троугла. Талесова теорема је фундаментална за развој концепта сличности троуглова.

Односи и својства пропорција

Један однос је количник два броја, при чему је делилац другачији од нуле; односно:

\(\фрац{а}{б}\;{\рм{витх\;}}б \не 0\)

Пропорција је једнакост два односа, односно:

\(\фрац{а}{б} = \фрац{ц}{д} = к,\)

\(к\) се такође назива константа пропорционалности.

Својства пропорција

Ако је \(\фрац{а}{б} = \фрац{ц}{д} = к\) онда за \(м \не 0:\;\)

\(\фрац{{ма}}{{мб}} = \фрац{а}{б} = \фрац{ц}{д} = к\)

\(\фрац{а}{б} = \фрац{ц}{д} = \фрац{{а + ц}}{{б + д}} = \фрац{{а – ц}}{{б – д}} = к\)

\(\фрац{а}{б} = \фрац{ц}{д} = \фрац{ф}{г} = \фрац{{а + ц + ф}}{{б + д + г}} = к\)

\(\фрац{{а \пм б}}{б} = \фрац{{ц \пм д}}{д}\)

примери

\(\фрац{9}{{24}} = \фрац{{15}}{{40}} = \фрац{{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \фрац{{24}} {{64}}\)

\(\фрац{9}{{24}} = \фрац{{15}}{{40}} = \фрац{{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \фрац{6}{{ 16}}\)

\(\фрац{{9 + 24}}{{24}} = \фрац{{15 + 40}}{{40}}\)\(\фрац{{33}}{{24}} = \фрац {{55}{{40}}\)

За пар сегмената \(\оверлине {АБ} \) и \(\оверлине {ЦД} \) се каже да је пропорционалан сегментима \(\оверлине {ЕФ} \) и \(\оверлине {ГХ} \) ако је пропорција испуњена:

\(\фрац{{АБ}}{{ЦД}} = \фрац{{ЕФ}}{{ГХ}}\)

Где \(АБ\;\) означава дужину сегмента \(\оверлине {АБ} .\)

Талесова теорема

Да се ​​вратимо на дефиницију, неколико паралела одређују пропорционалне одговарајуће сегменте у њиховим попречним линијама.

На слици 3, праве су паралелне и можемо осигурати:

\(\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{А_2}{А_3}}} = \фрац{{{Б_1}{Б_2}}}{{{Б_2}{Б_3}}}\)\ (\фрац{{{А_2}{А_3}}}{{{А_3}{А_4}}} = \фрац{{{Б_2}{Б_3}}}{{{Б_3}{Б_4}}}\)\( \фрац{{{А_2}{А_4}}}{{{А_2}{А_3}}} = \фрац{{{Б_2}{Б_4}}}{{{Б_2}{Б_3}}}\)\(\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{А_3}{А_4}}} = \фрац{{{Б_1}{Б_2}}}{{{Б_3}{Б_4}}}\)\(\фрац{{{А_1}{А_3}}}{{{А_1}{А_2}}} = \фрац{{{Б_1}{Б_3}}}{{{Б_1}{Б_2}}}\)

Приметимо да су прве две претходне пропорције еквивалентне следећим пропорцијама:

\(\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{Б_1}{Б_2}}} = \фрац{{{А_2}{А_3}}}{{{Б_2}{Б_3}}}\)\ (\фрац{{{А_2}{А_3}}}{{{Б_2}{Б_3}}} = \фрац{{{А_3}{А_4}}}{{{Б_3}{Б_4}}}\)Од горе наведених добијамо:

\(\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{Б_1}{Б_2}}} = \фрац{{{А_2}{А_3}}}{{{Б_2}{Б_3}}} = \фрац {{{А_3}{А_4}}}{{{Б_3}{Б_4}}} = \фрац{{{А_1}{А_2} + {А_2}{А_3} + {А_3}{А_4}}}{{{Б_1}{Б_2} + {Б_2}{Б_3} + {Б_3}{Б_4}}} = \фрац{{{А_1}{А_4}}}{{{Б_1}{Б_4}}}\)

У многим приликама је боље радити са претходним пропорцијама иу овом случају:

\(\фрац{{{А_и}{А_ј}}}{{{Б_и}{Б_ј}}} = к\)

Обрат Талесове теореме

Ако више правих одређује пропорционалне одговарајуће сегменте у својим попречним линијама, онда су праве паралелне

Ако је на слици 4. испуњено

\(\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{А_2}{А_3}}} = \фрац{{{Б_1}{Б_2}}}{{{Б_2}{Б_3}}}\)

Тада можемо да потврдимо да: \({Л_1}\паралелно {Л_2}\паралелно {Л_3}.\)

Ознака \({Л_1}\паралелно {Л_2}\), прочитана \({Л_1}\) је паралелна са \({Л_2}\).

Из претходне пропорције добијамо:

\(\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{Б_1}{Б_2}}} = \фрац{{{А_2}{А_3}}}{{{Б_2}{Б_3}}} = \фрац {{{А_1}{А_2} + {А_2}{А_3}}}{{{Б_1}{Б_2} + {Б_2}{Б_3}}} = \фрац{{{А_1}{А_3}}}{{{ Б_1}{Б_3}}}\)

Подела сегмента на неколико делова једнаке дужине

Кроз конкретан пример ћемо илустровати како сегмент поделити на делове једнаке дужине.

Поделити сегмент \(\оверлине {АБ} \) на 7 сегмената једнаке дужине

Почетна ситуација

Нацртајте помоћну линију која пролази кроз један од крајева сегмента

Уз подршку шестара, на помоћној линији се нацрта 7 сегмената једнаке дужине

Нацртајте линију која спаја крајеве последњег нацртаног сегмента и други крај сегмента који треба поделити

Они су повучени паралелно са последњом управо нацртаном линијом која пролази кроз тачке у којима се лукови обима секу са помоћном линијом.

Дат сегмент \(\оверлине {АБ} \), каже се да тачка \(П\) сегмента дели сегмент \(\оверлине {АБ} \), у односу \(\фрац{{АП} } {{ПБ}}.\)

Подела сегмента у датом односу

Дат је сегмент \(\оверлине {АБ} \), и два позитивна цела броја \(а, б\); тачка \(П\) која дели сегмент у размери \(\фрац{а}{б};\;\) може се наћи на следећи начин:

1. Поделити сегмент \(\оверлине {АБ} \) на \(а + б\) сегменте једнаке дужине.
2. Узмите \(а\) сегменте рачунајући од тачке \(А\).

примери

Подела сегмента \(\оверлине {АБ} \) у размери \(\фрац{а}{б}\)

Разлог	Број делова на које је сегмент подељен	Локација тачке \(П\)
\(\фрац{{АП}}{{ПБ}} = \фрац{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\фрац{{АП}}{{ПБ}} = 6 = \фрац{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\фрац{{АП}}{{ПБ}} = \фрац{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\фрац{{АП}}{{ПБ}} = \фрац{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Примењени примери Талесове теореме

апликација 1: Три парцеле се протежу од улице Сол до улице Луна, као што је приказано на слици 5.

Бочне границе су сегменти окомити на Луну улицу. Ако укупна фасада парцела у улици Сол износи 120 метара, одредите прочеље сваке парцеле у наведеној улици, ако је такође познато:

\({А_1}{А_2} = 10{\рм{м}},\;{А_2}{А_3} = 40{\рм{м}},\;{А_3}{А_4} = 20{\рм{ м}},\;{А_4}{А_5} = 30{\рм{м}}.\)

Изјава о проблему

Пошто су праве управне на Луну улицу, онда су оне паралелне једна са другом, применом Талесове теореме можемо да потврдимо:

\(\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{А_2}{А_3}}} = \фрац{{{Б_1}{Б_2}}}{{{Б_2}{Б_3}}},\; \;\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{А_1}{А_4}}} = \фрац{{{Б_1}{Б_2}}}{{{Б_1}{Б_4}}}\;,\;\;\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{А_1}{А_5}} } = \фрац{{{Б_1}{Б_2}}}{{{Б_1}{Б_5}}}\)Од горе наведеног можемо закључити:

\(к = \фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{Б_1}{Б_2}}} = \фрац{{{А_1}{А_4}}}{{{Б_1}{Б_4}}} = \фрац{{{А_1}{А_5}}}{{{Б_1}{Б_5}}}\;\)

Слично можемо закључити:

\(к = \фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{Б_1}{Б_2}}} = \фрац{{{А_2}{А_3}}}{{{Б_2}{Б_3}}} = \фрац{{{А_3}{А_4}}}{{{Б_3}{Б_4}}} = \фрац{{{А_4}{А_5}}}{{{Б_4}{Б_5}}}\)

Решење

Да бисмо одредили константу пропорционалности \(к,\) користићемо својства пропорција:

\(к = \фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{Б_1}{Б_2}}} = \фрац{{{А_2}{А_3}}}{{{Б_2}{Б_3}}} = \фрац{{{А_3}{А_4}}}{{{Б_3}{Б_4}}} = \фрац{{{А_4}{А_5}}}{{{Б_4}{Б_5}}} = \фрац{{{А_1}{А_2} + {А_2}{А_3} + {А_3}{А_4} + {А_4}{А_5}}}{{{Б_1}{Б_2} + {Б_2}{Б_3} + { Б_3}{Б_4} + {Б_4}{Б_5}}} = \фрац{{{А_1}{А_5}}}{{{Б_1}{Б_5}}} = \фрац{{100}}{{120}} = \фрац{5}{6}\)

Из наведеног добијамо:
\(\фрац{{{А_1}{А_2}}}{{{Б_1}{Б_2}}} = \фрац{5}{6}\)\(\фрац{{{Б_1}{Б_2}}}{ {{А_1}{А_2}}} = \фрац{6}{5}\)\({Б_1}{Б_2} = \фрац{6}{5}{А_1}{А_2} = \фрац{6}{ 5}\лево( {10} \десно) = 12.\)

Аналогно:

\({Б_2}{Б_3} = \фрац{6}{5}{А_2}{А_3} = \фрац{6}{5}\лефт( {40} \ригхт) = 48\)\({Б_3} {Б_4} = \фрац{6}{5}{А_3}{А_4} = \фрац{6}{5}\лефт( {20} \ригхт) = 24\)\({Б_4}{Б_5} = \фрац{6}{5}{А_4}{А_5} = \фрац{6 {5}\лево( {30} \десно) = 36\)

Одговор

Сегмент	\({Б_1}{Б_2}\)	\({Б_2}{Б_3}\)	\({Б_3}{Б_4}\)	\({Б_4}{Б_5}\)
Дужина	12м	48м	24м	36м

апликација 2: Графички дизајнер је дизајнирао полицу у облику паралелограма и поставиће 3 полице као што је приказано на Слика 6, тачке Е и Ф су средине страница \(\оверлине {АД} \) и \(\оверлине {БЦ} ,\) редом. Морате направити резове на полицама да бисте могли да направите склопове. У ком делу полица треба направити резове?

Исказ задатка: Због услова који су дати у задатку, испуњено је следеће:

\(ЕД = ЕА = ЦФ = БФ\)

Као помоћне конструкције продужићемо странице \(\оверлине {ЦБ} \) и \(\оверлине {ДА} \). Права се повлачи кроз тачку А кроз \(А\) и паралелно са страницом \(\оверлине {ЕБ} \) и кроз тачку \(Ц\;\) је повучена права паралелна са страницом \(\оверлине {ДФ} \).

Користићемо Конверзију Талесове теореме да покажемо да су сегменти \(\оверлине {ЕБ} \) и \(\оверлине {ДФ} \) паралелни да бисмо применили Талесову теорему.

Решење

По конструкцији, четвороугао \(ЕАИБ\) је паралелограм па имамо да је ЕА=БИ, пошто су оне супротне стране паралелограма. Сада:

\(\фрац{{ДЕ}}{{ЕА}} = \фрац{{БФ}}{{БИ}} = 1\)

Примењујући реципрочну вредност Талесове теореме можемо закључити:

\(\оверлине {АИ} \параллел \оверлине {ЕБ} \параллел \оверлине {ДФ} \параллел \оверлине {ЈЦ} \)

Узимајући сегменте \(\оверлине {АИ} \параллел \оверлине {ЕБ} \параллел \оверлине {ДФ} \параллел \оверлине {ЈЦ} \) и сегменте БЦ и ЦИ као њихове трансверзале; као што:

\(ФЦ = БФ = БИ\)\(ЦХ = ХГ = ГА\)

Узимајући \(\оверлине {АД} \параллел \оверлине {БЦ} \) и сегменте \(\оверлине {АЦ} \) и \(\оверлине {ЕБ} \) као њихове трансверзале, имаћемо:

\(\фрац{{ЕГ}}{{ГБ}} = \фрац{{АГ}}{{ГЦ}} = \фрац{{АГ}}{{ЦХ + ХГ}} = \фрац{{АГ}} {{2\лево( {АГ} \десно)}} = \фрац{1}{2}\)

Слично, показано је да:

\(\фрац{{ДХ}}{{ХФ}} = 2\)

Одговори

Дијагонални резови \(\оверлине {АЦ} \) морају бити направљени у тачкама \(Г\;\) и \(Х\), тако да:

\(\фрац{{АГ}}{{АЦ}} = \фрац{{АХ}}{{АЦ}} = \фрац{1}{3}\)

Исто важи и за полице \(\оверлине {ЕБ} \) и \(\оверлине {ДФ} \).