Vad är Dirac-ekvationen och hur definieras den?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) föreslog i slutet av 1928 en av de ekvationer som hade störst betydelse och implikationer i den nuvarande erans fysik, och detta beror på att den förenar kvantmekanikens principer med principerna för relativitet.

Citat (APA)

Evelyn Maitee Marin | aug. 2022
Industriingenjör, MSc i fysik och EdD

Denna ekvation kan uttryckas på flera sätt, den mest kompakta och förenklade är vad som anses vara en av de mest estetiska ekvationerna inom vetenskapen:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Var:
i: tänkt enhet
m: vilomassa för elektronen
ħ: Plancks reducerade konstant
c: fart av ljuset
: summeringsoperator av partiella derivator
: matematisk vågfunktion hos elektronen

Det absoluta värdet av kvadraten på vågfunktionen representerar sannolikhet att hitta partikeln i en viss position, med tanke på dess Energi, hastighet, bland andra parametrar, såväl som dess Evolution i tiden. Med andra ord, Paul Dirac-ekvationen använder matriser som verkar på vektorer och representerar en utveckling av Schrödinger-ekvationen inom relativistisk kvantfysik.

Dirac-ekvationen användes ursprungligen för att beskriva beteendet hos en elektron som saknar interaktion, även om dess tillämpbarhet sträcker sig till beskrivning av subatomära partiklar när de färdas med hastigheter nära ljusets hastighet. Dirac lyckades förklara på subatomär skala det dubbla beteendet hos våg och partikel som redan var känt vid den tiden, eftersom han övervägde egenskaperna hos partiklar som rörelsemängd inneboende eller snurra.

Ett annat av de betydande bidragen från Dirac-ekvationen är förutsägelsen av antimateria, vars existens senare demonstrerades (1932) av Carl D. Anderson använder en molnkammare med vilken han identifierade positronen. Det förklarar också till stor del den fina strukturen som identifieras i atomspektrallinjer.

Bilden visar det berömda fotografiet taget under konferensen "Photons and Electrons" 1927 där några av historiens mest framstående vetenskapsmän porträtteras. I den himmelska omkretsen är Paul Dirac.

Dirac ekvation bakgrund

För att förstå de överväganden som Dirac tog i utvecklingen av sin ekvation, såväl som grunder som hans synsätt byggde på, är det viktigt att känna till teorierna före hans modell.

Först finns det den berömda Schrödinger-ekvationen för kvantmekanik, publicerad 1925, som omvandlar kvantiteter till kvantoperatorer. Denna ekvation använder vågfunktionen () och tar den klassiska ekvationen som utgångspunkt energi E = p2/2m och innehåller kvantiseringsreglerna för både momentum (p) och energi (OCH):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Den partiella derivatan /t uttrycker systemets utveckling med avseende på tid. Den första termen inom hakparentesen hänvisar till Rörelseenergi (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), medan den andra termen hänför sig till potentiell energi.

Notera: i Einsteins relativitetsteori måste variablerna rum och tid ingå lika i ekvationer, vilket inte är fallet i Schrödinger-ekvationen, där tiden visas som en derivata och positionen som en andra derivatan.

Nu, i århundraden, har forskare försökt hitta en modell av fysik som förenar de olika teorierna, och i fallet med Schrödingers ekvation, tar hänsyn till massan (m) och laddningen av elektronen, men tar inte hänsyn till de relativistiska effekterna som uppenbarar sig vid hög hastigheter. Av denna anledning, 1926, föreslog forskarna Oskar Klein och Walter Gordon en ekvation som tar hänsyn till relativitetsprinciperna:

\({\left( {ih\frac{\partial}{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Problemet med Klein-Gordons ekvation är att den är baserad på Einsteins, där energi är kvadratisk, så denna (Klein-Gordon) ekvation innehåller en kvadratderivata med avseende på tid, och detta innebär att den har två lösningar, vilket tillåter negativa tidsvärden, och detta är meningslöst fysisk. Likaså har det besväret att generera sannolikhetsvärden mindre än noll som lösningar.

För att försöka lösa de inkonsekvenser som antyds av negativa lösningar av vissa storleksordningar som inte stöder dessa resultat, utgick Paul Dirac från Klein-Gordons ekvation till linearisera den, och i denna procedur introducerade han två parametrar i form av matriser av dimension 4, kända som Dirac eller även Pauli-matriser, och som är en representation av algebra snurra. Dessa parametrar betecknas som  och ` (i energiekvationen representeras de som E = pc + mc2):

Av vad som är jämlikhet är uppfyllt är villkoret att ´2 = m2c4

Generellt sett leder kvantiseringsreglerna till operationer med derivator som gäller skalära vågfunktioner, men eftersom parametrarna α och β är 4x4-matriser, differentialoperatorerna ingriper på en fyrdimensionell vektor (), känd som spinor.

Dirac-ekvationen löser det negativa energiproblem som Klein-Gordons ekvation presenterar, men en negativ energilösning dyker fortfarande upp; det vill säga partiklar med egenskaper som liknar den andra lösningens men med motsatt laddning, kallade Dirac detta för antipartiklar. Vidare, med Dirac-ekvationen, visas det att spinn är resultatet av att tillämpa relativistiska egenskaper på kvantvärlden.