นิยามฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสองของตัวแปรจริงที่มีการแสดงรูปแบบ

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

โดยที่ตัวแปรคือ \(x\), \(a, b\) และ c เป็นค่าคงที่จริง เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันกำลังสองด้วย \(a \ne 0.\)

ตารางจะขยายตัวอย่างทั่วไปของฟังก์ชันกำลังสองและสถานการณ์ที่พวกเขาสามารถจำลองได้ เพื่อแสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้โดยตรงจากปัญหาจริงในภายหลัง

ฟังก์ชันกำลังสอง	สถานการณ์ที่คุณจำลองได้
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	ตัวแปร \(y\) คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งด้านมีขนาด \(x\)
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	ตัวแปร \(y\) คือพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี \(x\)
\(f\left( x \right) = 100 – 4.9{x^2}\)	ตัวแปร \(y\) คือความสูงของวัตถุที่ตกลงมาที่ความสูง 100 และ \(x\) คือเวลาที่ผ่านไป
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4.9{x^2}\)	ตัวแปร \(y\) คือความสูงของลูกกระสุนปืนใหญ่ที่ขว้างทำมุม 45° ด้วยความเร็ว 60 m/s และ \(x\) คือเวลาที่ผ่านไป

สูตรทั่วไปและฟังก์ชันกำลังสอง

ถ้าสำหรับ \(x = \alpha \) ฟังก์ชันกำลังสองเป็นศูนย์ ดังนั้นจำนวนที่เป็น \(\alpha \) จะเรียกว่ารากของฟังก์ชันกำลังสอง ใช่ \(\alpha \) คือคำตอบของสมการกำลังสอง

\(ก{x^2} + bx + c = 0\)

สูตรทั่วไปในการแก้สมการกำลังสองที่เรามีรากของฟังก์ชันกำลังสองคือ:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

จากข้างต้น ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันกำลังสองถูกสร้างขึ้น:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

เอกลักษณ์ดังต่อไปนี้ถูกสร้างขึ้นผ่านผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

ในทำนองเดียวกับที่กำหนดไว้ในสูตรทั่วไป ฟังก์ชันกำลังสองสามารถแสดงในรูปแบบ:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

ด้วย \(h = – \frac{b}{{2a}}\) และ \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

โดยการแก้สมการ:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

ได้รับ:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

จากข้างต้นสรุปได้ว่า \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\) ก็ต่อเมื่อค่าคงที่ \(k\) และ \(a\) เป็นของ เครื่องหมายตรงข้าม ฟังก์ชันกำลังสองนี้มีรากจริง ซึ่งได้แก่: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

ถ้าค่าคงที่ \(k\) และ \(a\) มีเครื่องหมายเหมือนกัน แสดงว่าฟังก์ชันกำลังสองไม่มีรากจริง

เมื่อ \(k = 0,\;\;\)ฟังก์ชันกำลังสองมีรากเดียว

ตัวอย่างที่นำไปใช้ในชีวิตจริง

ตัวอย่างการใช้งาน 1: เศรษฐศาสตร์

โรงเรียนต้องการจัดการแข่งขันฟุตบอลโดยแต่ละทีมจะเล่นกับทีมอื่นเพียงครั้งเดียว มีงบประมาณ $15,600 สำหรับค่าใช้จ่ายในการอนุญาโตตุลาการ หากค่าใช้จ่ายในการอนุญาโตตุลาการคือ $200 ต่อเกม สามารถลงทะเบียนเข้าร่วมการแข่งขันได้กี่ทีม?

คำชี้แจงปัญหา: เราต้องค้นหาฟังก์ชันที่คำนวณจำนวนการจับคู่เมื่อเรามี \(n\) ทีมที่จะนับ เราจะตั้งสมมติฐานว่าทีม 1 เล่นก่อนกับทีมอื่นทั้งหมด นั่นคือ \(n – 1\) การแข่งขัน ตอนนี้ทีม 2 จะเล่นกับส่วนที่เหลือทั้งหมด นั่นคือด้วย \(n – 2\) เนื่องจากพวกเขาจะเล่นกับทีม 1 แล้ว ทีม 3 จะเล่นกับทีม 1 และ 2 อยู่แล้ว ดังนั้นพวกเขาจึงต้องเล่นกับทีม n-3

ด้วยเหตุผลข้างต้นเราจึงมาถึง:

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

ฟังก์ชันต้นทุนคือ:

\(C\left( n \right) = 200f\left( n \right) = 100n\left( {n – 1} \right)\)

มีงบประมาณ $15,600 เรามีสมการ:

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\)

คำตอบของสมการ

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) สถานการณ์เริ่มต้น
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) หารแต่ละด้านของสมการด้วย 100
\({n^2} – n – 156 = \) เพิ่ม \( – 156\) ในแต่ละด้านของสมการ
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) เรามี \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) และ \( – 13 + 12 = – 1\)
มันถูกแยกตัวประกอบ
คำตอบของสมการ \(n = – 12,\;13\)
ตอบ งบประมาณเพียงพอสำหรับการลงทะเบียน 13 ทีม

ตัวอย่างการใช้งาน 2: เศรษฐศาสตร์

บริษัทรถโดยสารขนส่งในเมืองแห่งหนึ่งสังเกตว่า ในหนึ่งวันแปดชั่วโมง รถโดยสารแต่ละคันจะขนส่งผู้โดยสารโดยเฉลี่ยหนึ่งพันคน เพื่อให้อยู่ในตำแหน่งที่สามารถขึ้นเงินเดือนให้พนักงานได้ คุณจะต้องเพิ่มค่าโดยสาร ซึ่งขณะนี้อยู่ที่ 5 ดอลลาร์ นักเศรษฐศาสตร์คำนวณว่า ในแต่ละเปโซที่ขึ้นค่าโดยสาร รถบรรทุกแต่ละคันจะสูญเสียผู้โดยสารโดยเฉลี่ย 40 คนในแต่ละวัน บริษัทได้คำนวณแล้วว่าเพื่อให้ครอบคลุมการขึ้นเงินเดือน บริษัทจะต้องได้รับรถบรรทุกเพิ่มอีก 760 เหรียญสหรัฐฯ ต่อคันต่อวัน ค่าโดยสารจะต้องเพิ่มขึ้นเท่าไร?

คำชี้แจงของปัญหา: ให้ \(x\) เป็นจำนวนเงินเปโซที่ตั๋วจะเพิ่มขึ้น โดยที่ \(5 + x\) เป็นราคาใหม่ของตั๋ว ด้วยการเพิ่มขึ้นเช่นเดียวกันนี้ รถบรรทุกแต่ละคันจะขนส่งผู้โดยสารได้ \(1,000 – 40x\) ต่อวันโดยเฉลี่ย

สุดท้าย รายได้ต่อรถบรรทุกคือ:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right)\)

เพื่อให้ครอบคลุมการขึ้นเงินเดือน รถบัสแต่ละคันจะต้องรวบรวม: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

ในที่สุดเราก็มีสมการ:

\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\)

คำตอบของสมการ
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) สถานการณ์เริ่มต้น
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) หารด้วย \( – 40\) แต่ละด้านของสมการ
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) ผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นได้รับการพัฒนา
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 ถูกเพิ่มเข้าไปในแต่ละอัน
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) เรามี \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ ขวา) = 19\) และ \( – 19 – 1 = – 20\)
ปัจจัย
คำตอบของสมการ \(n = 1.19\)
คำตอบ: ราคาตั๋วสามารถเพิ่มขึ้นได้ 1 เหรียญหรือ 19 เหรียญเปโซ

ตัวอย่างการใช้งาน 3: เศรษฐศาสตร์

ร้านขายขนมปังขายได้เฉลี่ย 1,200 ม้วนต่อสัปดาห์ในราคา 6 ดอลลาร์ต่อชิ้น วันหนึ่งเขาตัดสินใจขึ้นราคาเป็น 9 ดอลลาร์ต่อชิ้น ตอนนี้ยอดขายของเธอลดลง: เธอขายได้เฉลี่ย 750 ม้วนต่อสัปดาห์เท่านั้น ราคาของซาลาเปาแต่ละลูกควรเป็นเท่าไหร่เพื่อให้รายได้ของร้านเป็นไปได้มากที่สุด? สมมติว่ามีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่างอุปสงค์และราคา

คำชี้แจงปัญหา: สมมติว่ามีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่างอุปสงค์ D และราคา \(x,\)

\(D = มx + ข\)

เมื่อ \(x = 6;D = 1200;\;\) ซึ่งสร้างสมการ:

\(1200 = 6m + b\)

เมื่อ \(x = 9;D = 750;\;\) lo และได้รับสมการ:

\(750 = 9 ม. + ข\)

การแก้ระบบสมการความสัมพันธ์ระหว่างอุปสงค์และราคาคือ:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\left( {x – 14} \right)\)

รายได้เท่ากับ

\(I\left( x \right) = Dx = – 150x\left( {x – 14} \right)\)

สารละลาย

กราฟของรายได้ในพาราโบลาที่เปิดลงและค่าสูงสุดจะมาถึงจุดยอดบน ซึ่งหาได้จากการหาค่าเฉลี่ยของรากของฟังก์ชันกำลังสองที่สร้างแบบจำลอง รายได้. รากคือ \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\)

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

คำตอบ

รายได้สูงสุดคือ 7,350 ดอลลาร์และทำได้ด้วยราคา 7 ดอลลาร์ ขายได้เฉลี่ย 1,050 ม้วนต่อสัปดาห์

ตัวอย่างการใช้งาน 4: เศรษฐศาสตร์

ต้นทุนในการผลิตเก้าอี้ \(n\) ในหนึ่งวันสามารถคำนวณได้ด้วยฟังก์ชันกำลังสอง:

\(C\left( n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

กำหนดต้นทุนขั้นต่ำที่สามารถทำได้

คำชี้แจงปัญหา

กราฟของ \(C\left( n \right)\) เป็นพาราโบลาที่เปิดขึ้นและจะไปถึงจุดต่ำสุดที่ \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ ซ้าย ( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

คำตอบ

ต้นทุนที่ต่ำที่สุดที่เป็นไปได้คือ 3,000 เหรียญสหรัฐฯ และทำได้โดยการผลิตเก้าอี้ 100 ตัว

ตัวอย่างการใช้งาน 5: เรขาคณิต

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีพื้นที่ 21 ซม. 2 ถ้าผลรวมของความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากับ 17 ซม. ความยาวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแต่ละเส้นจะเป็นเท่าใด

คำชี้แจงปัญหา: พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคำนวณจาก:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

ด้วย \(D\) และ \(d\) ความยาวของเส้นทแยงมุม เป็นที่รู้จักกันว่า:

\(ด + ง = 7\)

\(D = 17 – d\)

โดยแทนที่คุณจะได้รับ:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

ในที่สุดเราก็ได้สมการ

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

สารละลาย
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) สถานการณ์เริ่มต้น
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) คูณด้วย \( – 40\) แต่ละด้านของสมการ
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) ผลิตภัณฑ์ได้รับการพัฒนา
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) เรามี \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ ขวา) = 42\) และ \( – 14 – 3 = – 17\)
ปัจจัย
คำตอบของสมการ \(d = 3.14\)
คำตอบ:

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนวัดได้ 14 ซม. และ 3 ซม.

ตัวอย่างการใช้งาน 6: เรขาคณิต

มีความประสงค์ที่จะสร้างเล้าไก่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 140 ตร.ม. โดยใช้ประโยชน์จากรั้วที่ค่อนข้างยาวซึ่งจะเป็นฐานของเล้าไก่ อีกสามด้านจะสร้างด้วยลวดตาข่ายยาว 34 เมตร เล้าไก่ควรมีความยาวและความกว้างเท่าใดจึงจะต้องใช้ตาข่ายทั้งหมด

ภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน พื้นที่สูงสุดที่สามารถรั้วตาข่ายเดียวกันได้คือเท่าใด

คำชี้แจงปัญหา: ตามแผนภาพ พื้นที่เท่ากับ:

\(A\left( x \right) = x\left( {34 – 2x} \right) = 2x\left( {17 – x} \right)\)

โดยที่ \(x\) คือความยาวของด้านที่ตั้งฉากกับรั้ว

หากต้องการทราบขนาดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อให้มีพื้นที่ 140 ตร.ม. ก็เพียงพอที่จะแก้สมการได้

\(2x\left( {17 – x} \right) = 140\)

เนื่องจากกราฟของ \(A\left( x \right)\) เป็นพาราโบลาที่เปิดลงเพื่อคำนวณค่าสูงสุดของพื้นที่ การคำนวณจุดยอดของพาราโบลาจึงเพียงพอแล้ว

คำตอบ
การวัดสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ 140 ตร.ม
ความยาวของด้านตั้งฉากกับรั้ว

\(x\) ความยาวของด้านขนานกับรั้ว

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

พิกัดแรกของจุดยอดคือ \(h = \frac{{17}}{2}\) และ

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

พื้นที่สูงสุดเมื่อด้านตั้งฉากวัด \(\frac{{17}}{2}\;\)m และด้านขนานวัดได้ 17 ม. วัดได้ 17 ม. ค่าของพื้นที่สูงสุดที่ไปถึงคือ \(\frac{ {289}} {2}\)ตร.ม.

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

จากมุมมองทางเรขาคณิต รากคือจุดที่กราฟของฟังก์ชันตัดแกน \(x\)

จากการแสดงออก

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

เราจะสร้างรูปแบบทั่วไปของกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

กรณีแรก \(a > 0\) และ \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(ฉ\ซ้าย( x \ขวา)\)
\(ซ – 1\)	\(ก + k\)
\(ซ – 2\)	\(4a + k\)
\(ซ – 3\)	\(9a + k\)
\(ซ – 4\)	\(16a + k\)
\(ชม\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(ก + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

ในกรณีนี้ กราฟเป็นไปตาม:

สมมาตร: มีแกนสมมาตร \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) นั่นคือ \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

ซึ่งอยู่เหนือแกน \(x\) และไม่ตัดกัน นั่นคือ \(f\left( x \right) > 0\) ไม่มีรากที่แท้จริง

จุดต่ำสุดบนกราฟอยู่ที่จุด \(\left( {h, k} \right)\) นั่นคือ \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

กรณีที่สอง \(a < 0\) และ \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(ฉ\ซ้าย( x \ขวา)\)
\(ซ – 1\)	\(ก + k\)
\(ซ – 2\)	\(4a + k\)
\(ซ – 3\)	\(9a + k\)
\(ซ – 4\)	\(16a + k\)
\(ชม\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

ในกรณีนี้ กราฟเป็นไปตาม:

สมมาตร: มีแกนสมมาตร \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) นั่นคือ \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

ซึ่งอยู่ใต้แกน \(x\) และไม่ตัดกัน นั่นคือ \(f\left( x \right) < 0\) ไม่มีรากที่แท้จริง จุดสูงสุดบนกราฟอยู่ที่จุด \(\left( {h, k} \right)\) นั่นคือ \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) กรณีที่สาม \(a > 0\) และ \(k \le 0\)

กรณีนี้คล้ายกับกรณีแรก ความแตกต่างคือตอนนี้เรามีหนึ่งรูทจริง (เมื่อ \(k = 0\) ) หรือสองรูทจริง

ในกรณีนี้ กราฟเป็นไปตาม:

สมมาตร: มีแกนสมมาตร \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) นั่นคือ \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

มันตัดแกน \(x\) นั่นคือ มันมีรูทจริงอย่างน้อยหนึ่งรูท

จุดต่ำสุดบนกราฟอยู่ที่จุด \(\left( {h, k} \right)\) นั่นคือ \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

กรณีที่สี่ \(a < 0\) และ \(k \ge 0\) กรณีนี้คล้ายกับกรณีที่สอง ความแตกต่างคือตอนนี้เรามีหนึ่งรูทจริง (เมื่อ \(k = 0\) ) หรือสองรูทจริง ในกรณีนี้ กราฟเป็นไปตาม:

สมมาตร: มีแกนสมมาตร \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) นั่นคือ \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

จุดต่ำสุดบนกราฟอยู่ที่จุด \(\left( {h, k} \right)\) นั่นคือ \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองเรียกว่าพาราโบลา และองค์ประกอบที่จะเน้นคือแกนสมมาตร ซึ่งเป็นจุดที่พาราโบลาตัดกัน ไปยังแกน \(x\) และจุดยอด ซึ่งเป็นจุดบนกราฟของฟังก์ชันที่ถึงจุดต่ำสุดหรือสูงสุด ขึ้นอยู่กับ กรณี.

จากการวิเคราะห์ที่ดำเนินการ เราสามารถระบุ:

พาราโบลาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันกำลังสอง \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) มีจุดยอดที่ \(\left( {h, k} \right)\) โดยที่ :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันกำลังสอง \(y = {x^2}\)	องค์ประกอบที่สำคัญ
จุดยอดของพาราโบลา	\(\left( {0,0} \right)\)
แกนสมมาตรของพาราโบลา	\(x = 0\)
ตัดกับแกน \(x\)	\(\left( {0,0} \right)\)

ฟังก์ชันกำลังสอง \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	องค์ประกอบที่สำคัญ
จุดยอดของพาราโบลา	\(\left( {2,0} \right)\)
แกนสมมาตรของพาราโบลา	\(x = 2\)
ตัดกับแกน \(x\)	\(\left( {2,0} \right)\)

ฟังก์ชันกำลังสอง \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	องค์ประกอบที่สำคัญ
จุดยอดของพาราโบลา	\(\left( { – 2, – 4} \right)\)
แกนสมมาตรของพาราโบลา	\(x = – 2\)
ตัดกับแกน \(x\)	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

ฟังก์ชันกำลังสอง \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	องค์ประกอบที่สำคัญ
จุดยอดของพาราโบลา	\(\left( {9,8} \right)\)
แกนสมมาตรของพาราโบลา	\(x = 9\)
ตัดกับแกน \(x\)	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

ฟังก์ชันกำลังสอง \(y = {x^2} + 1\)	องค์ประกอบที่สำคัญ
จุดยอดของพาราโบลา	\(\left( {0,1} \right)\)
แกนสมมาตรของพาราโบลา	\(x = 0\)
ตัดกับแกน \(x\)	ไม่ได้มี

ฟังก์ชันกำลังสอง \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	องค์ประกอบที่สำคัญ
จุดยอดของพาราโบลา	\(\left( {2, – 1} \right)\)
แกนสมมาตรของพาราโบลา	\(x = 2\)
ตัดกับแกน \(x\)	ไม่ได้มี

ถ้ารากที่แท้จริงของฟังก์ชันกำลังสองมีอยู่ เราก็สามารถวาดกราฟพาราโบลาที่เกี่ยวข้องจากพวกมันได้ สมมติว่า \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

สำหรับสิ่งนี้ จะต้องคำนึงถึงสิ่งต่อไปนี้:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

เช่น

\(k = f\ซ้าย( ชั่วโมง \ขวา)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ เบต้า } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

ตัวอย่าง

ร่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

สารละลาย

รากคือ \(\alpha = 3\;\) และ \(\beta = – 6\); จากนั้น \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\)

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

เราจึงสามารถสร้างตารางต่อไปนี้ได้

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	องค์ประกอบที่สำคัญ
จุดยอดของพาราโบลา	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
แกนสมมาตรของพาราโบลา	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
ตัดกับแกน \(x\)	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

ในการร่างกราฟของฟังก์ชัน:

\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

เราจะใช้แนวคิดเดิมที่เราเคยใช้แล้ว สำหรับสิ่งนี้เราจะกำหนดจุดสุดยอดก่อน

ในกรณีนี้ \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\)

เนื่องจาก \(a > 0\) พาราโบลา “จะเปิดขึ้นและ \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) ต่อไปเราจะคำนวณ \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ \(\left( {3, – 23} \right)\) และเมื่อมันเปิดขึ้น พาราโบลาก็จะตัดแกน \(x\;\) และแกนสมมาตรของมันคือ \ (x = 3\)

ตอนนี้ให้เราพิจารณาฟังก์ชันกำลังสอง

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

ในกรณีนี้ \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\)

เนื่องจาก \(a < 0\) พาราโบลาจะ "เปิด" ลงและ \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A ต่อไปเราจะคำนวณ \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ right) - 9 = - 4\) จุดยอดของ พาราโบลาอยู่ที่ \(\left( {1, - 4} \right)\) และเมื่อพาราโบลาเปิดลง พาราโบลาจะไม่ตัดแกน \(x\;\) และแกนสมมาตรของมันคือ \(x = 1.\)