นิยามฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจำลองปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและสถานการณ์ทางสังคมและเศรษฐกิจต่างๆ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมการระบุฟังก์ชันเลขชี้กำลังในบริบทต่างๆ จึงมีความสำคัญ

ขอให้เราจำไว้ว่าสำหรับจำนวน \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) ถูกกำหนด โดยทั่วไปแล้วเรามีสำหรับ \(n\ ) จำนวนธรรมชาติ:

ในกรณี \(a \ne 0\) เรามี: \({a^0} = 1,\;\) ในความเป็นจริง เมื่อ \(a \ne 0,\) การดำเนินการ \ (\frac{a}{a} = 1;\) เมื่อใช้กฎเลขยกกำลัง เรามี:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

เมื่อ \(a = 0\) การให้เหตุผลก่อนหน้านี้ไม่สมเหตุสมผล ดังนั้น นิพจน์ \({0^0},\) จึงขาดการตีความทางคณิตศาสตร์

ในกรณีที่ \(b > 0\) และ \({b^n} = a,\) เป็นจริง แสดงว่า \(b\) เป็นรากที่ n ของ \(a\) และโดยปกติแล้ว แสดงเป็น \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) หรือ \(b = \sqrt[n]{a}\)

เมื่อ \(a < 0\) ไม่มีจำนวนจริง \(b\) ดังนั้น \({b^2} = a;\) เพราะ \({b^2} \ge 0;\;\ ) ดังนั้น การแสดงออกของแบบฟอร์ม \({a^{\frac{m}{n}}}\) จะไม่ถูกพิจารณาสำหรับ \(a < 0.\) ในนิพจน์พีชคณิตต่อไปนี้: \({a^n}\) \(a \ ) เรียกว่าฐาน และ \(n\) คือ เรียกว่าเลขชี้กำลัง \({a^n}\)เรียกว่ายกกำลัง\(\;n\) ของ \(a\) หรือเรียกอีกอย่างว่า \(a\) ยกกำลัง \(n,\;\)se ปฏิบัติตามกฎหมายดังต่อไปนี้ ของเลขชี้กำลัง:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) สำหรับแต่ละ \(a \ne 0\)

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลอยู่ในรูปแบบ:

\(f\left( x \right) = {a^x}\)

โดยที่ \(a > 0\) เป็นค่าคงที่และตัวแปรอิสระคือเลขชี้กำลัง \(x\)

ในการวิเคราะห์ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล เราจะพิจารณาสามกรณี

กรณีที่ 1 เมื่อฐาน \(a = 1.\)

ในกรณีนี้ \(a = 1,\) ฟังก์ชัน \(f\left( x \right) = {a^x}\) เป็นฟังก์ชันคงที่

กรณีที่ 2 เมื่อพื้นฐาน \(a > 1\)

ในกรณีนี้ เรามีดังต่อไปนี้:

ค่าของ \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < ก\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(ก < {a^x}\)

ฟังก์ชัน \(f\left( x \right) = {a^x}\) เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด นั่นคือ ถ้า \({x_2} > {x_1}\) ดังนั้น:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

เมื่อปรากฏการณ์ถูกจำลองด้วยฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล โดย \(a > 1\) เราจะบอกว่ามันแสดงการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง

กรณีที่ 2 เมื่อพื้นฐาน \(ก < 1\)

ค่าของ \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < ก < 1\)

เมื่อ \(a < 1\) ฟังก์ชัน \(f\left( x \right) = {a^x}\) เป็นฟังก์ชันการลดลงอย่างเคร่งครัด นั่นคือ ถ้า \({x_2} > {x_1}\ ), ดังนั้น:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) เมื่อมีปรากฏการณ์ โมเดลที่มีฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลด้วย \(a < 1\) เราบอกว่ามันแสดงการสลายตัวหรือลดลง ชี้แจง กราฟต่อไปนี้แสดงพฤติกรรมของ \({a^x}\) ในสามกรณีที่แตกต่างกัน

การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่างที่ 1 การเติบโตของประชากร

เราจะแสดงด้วย \({P_0}\) ประชากรเริ่มต้น และด้วย \(r \ge 0\) อัตราการเพิ่มของประชากร หากอัตราประชากรยังคงที่เมื่อเวลาผ่านไป ฟังก์ชั่น

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};\)

จงหาประชากร ณ เวลา t

ตัวอย่างการปฏิบัติ 1

ประชากรของเม็กซิโกในปี 2564 มีจำนวน 126 ล้านคนและเติบโตปีละ 1.1% หากการเติบโตนี้ยังคงอยู่ จำนวนประชากรในเม็กซิโกในปี พ.ศ. 2574 ในปี พ.ศ. 2574 2021?

สารละลาย

ในกรณีนี้ \({P_o} = 126\) และ \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\) คุณควรใช้:

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \right)^t}\)

ตารางต่อไปนี้แสดงผลลัพธ์

ปี	เวลาที่ผ่านไป (\(t\))	การคำนวณ	ประชากร (ล้าน)
2021	0	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^0}\)	126
2031	10	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{30}}\)	174.95

ตัวอย่างที่ 2 การคำนวณดอกเบี้ยทบต้น

ธนาคารเสนออัตราดอกเบี้ยรายปี แต่อัตราจริงขึ้นอยู่กับจำนวนเดือนที่คุณลงทุน ตัวอย่างเช่น หากคุณได้รับข้อเสนออัตราดอกเบี้ยต่อปีเป็น r% อัตรารายเดือนที่แท้จริงคือ \(\frac{r}{{12}}\)% อัตรารายเดือนคือ \(\frac{r}{6}\)%, รายไตรมาสคือ \(\frac{r}{4}\)%, รายไตรมาสคือ \(\frac{r}{3}\)%, และภาคการศึกษาคือ \(\frac{r}{2}\)%.

ตัวอย่างการปฏิบัติ2

สมมติว่าคุณลงทุน 10,000 บาทในธนาคารแห่งหนึ่ง และธนาคารเสนออัตราดอกเบี้ยรายปีดังต่อไปนี้:

เงินฝากประจำ	อัตรารายปี	ระยะเวลาในหนึ่งปี	อัตราที่แท้จริง	เงินสะสม \(k\) เดือน
สองเดือน	0.55%	6	\(\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
สามเดือน	1.87%	4	\(\frac{{1.87\% }}{4} = 0.4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
หกเดือน	1.56%	2	\(\frac{{1.56\% }}{4} = 0.78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

จำนวน \(e\) ดอกเบี้ยคงที่และต่อเนื่องของออยเลอร์

สมมติว่าเรามีเงินทุนเริ่มต้น \(C\) และเราลงทุนในอัตราคงที่ \(r > 0\) และเราแบ่งปีออกเป็นงวด \(n\) ทุนสะสมในหนึ่งปีเท่ากับ:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

เพื่อวิเคราะห์ว่าทุนสะสมมีพฤติกรรมอย่างไรเมื่อ \(n\) เติบโตขึ้น เราจะเขียนทุนสะสมใหม่อีกครั้งในหนึ่งปี:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

ทำ \(m = \frac{n}{r}\) เราได้รับ:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

เมื่อ \(n\) เติบโตขึ้น \(m = \frac{n}{r}.\) ก็เช่นกัน

เมื่อ \(m = \frac{n}{r},\) ขยายนิพจน์ \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) เข้าใกล้สิ่งที่เรียกว่า ค่าคงที่ออยเลอร์หรือตัวเลข:

\(e \ประมาณ 2.718281828 \ldots .\)

ค่าคงที่ของออยเลอร์ไม่มีนิพจน์ทศนิยมที่แน่นอนหรือเป็นคาบ

เรามีค่าประมาณดังต่อไปนี้

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \ประมาณ C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \ประมาณ C{e^{rs}}.\)

ในการแสดงออก:

\(A = \;C{e^r},\)

เราสามารถตีความได้สองแบบคือ

1.- เป็นจำนวนเงินสูงสุดที่เราสามารถสะสมได้ในหนึ่งปีเมื่อเราลงทุน \(C,\;\) ในอัตราต่อปี \(r.\)

2.- เป็นจำนวนเงินที่เราจะสะสมในหนึ่งปี ถ้าทุนของเราถูกลงทุนซ้ำอย่างต่อเนื่องในอัตราต่อปี \(ร.\)

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

คือจำนวนเงินสะสมหาก \(s\) ปีมีการลงทุนพร้อมดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม3

ตอนนี้เราจะกลับไปที่ส่วนหนึ่งของตัวอย่างที่ชัดเจน 2 ซึ่งอัตรารายปีคือ 0.55% ในการผ่อนชำระทุกสองเดือน คำนวณทุนที่สะสมหากทุนเริ่มต้นคือ 10,000 และลงทุนซ้ำครึ่งปี สองปี 28 เดือน

\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

ดังที่ตารางด้านล่างแสดง ค่าของ \(m = \frac{n}{r},\) ไม่ใช่ "น้อย" และตารางด้านบนระบุว่า \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) มีค่าใกล้เคียงกับค่าคงที่ของออยเลอร์

เวลา	จำนวนงวด (\(k\))	สะสมทุนเป็นพัน ลงทุนซ้ำทุกสองเดือน
ครึ่งปี	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
สองปี	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 เดือน	19	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

เวลา	เวลาของปี (\(s\))	ทุนสะสมหลักพัน ลงทุนต่อเนื่อง
ครึ่งปี	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
สองปี	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 เดือน	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

ตัวอย่างที่ 2 ค่าเสื่อมราคา

ตัวอย่างการปฏิบัติ 1

คอมพิวเตอร์มีค่าเสื่อมราคา 30% ในแต่ละปี ถ้าคอมพิวเตอร์มีราคา 20,000 เหรียญเปโซ ให้กำหนดราคาของคอมพิวเตอร์สำหรับ \(t = 1,12,\;14,\;38\) เดือน

ในกรณีนี้ มี:

\(P\left( t \right) = 20,000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0.30} \right)^t}\)

ด้วย \(t\) ในหน่วยปี การแทนที่ \(t\) ในตารางต่อไปนี้จะได้

เวลาเป็นเดือน	เวลาเป็นปี	การคำนวณ	ค่าตัวเลข
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859