Визначення раціоналізації радикалів (математика)

Раціоналізація радикалів — це математичний процес, який виконується, коли в знаменнику є частка з радикалами або коренями. Таким чином можна полегшити математичні операції, коли задіяні частки з радикалами та інші типи математичних об’єктів.

Види часток з радикалами

Важливо згадати деякі типи часток із радикалами, які можна раціоналізувати. Однак перш ніж повністю приступити до процесу оптимізації, слід запам’ятати кілька важливих понять. По-перше, припустімо, що ми маємо такий вираз: \(\sqrt[m]{n}\). Це корінь \(m\) із числа \(n\), тобто результатом зазначеної операції є таке число, що піднесення його до степеня \(m\) дає нам число \(n\) в результаті). Степінь і корінь є оберненими операціями таким чином, що \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
З іншого боку, варто зазначити, що добуток двох рівних коренів дорівнює кореню добутку, тобто: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Ці дві властивості стануть нашими найкращими союзниками під час раціоналізації.

Найпоширеніший і простий тип частки з радикалом, який ми можемо знайти, такий:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Де \(a\), \(b\) і \(c\) можуть бути будь-якими дійсними числами. Процес раціоналізації в цьому випадку полягає в пошуку способу отримати у частці вираз \(\sqrt {{c^2}} = c\), щоб позбутися радикала. У цьому випадку достатньо помножити на \(\sqrt c \) як чисельник, так і знаменник:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Згадуючи вищезгадане, ми знаємо, що \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Тому остаточно отримуємо, що:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Таким чином ми раціоналізували попередній вираз. Цей вираз є не що інше, як окремий випадок загального виразу:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Де \(a\), \(b\), \(c\) — будь-які дійсні числа, а \(n\), \(m\) — додатні ступені. Раціоналізація цього виразу заснована на тому ж принципі, що й попередній, тобто отримати вираз \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) у знаменнику. Ми можемо досягти цього, помноживши на \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) як чисельник, так і знаменник:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Ми можемо розвинути добуток радикалів у знаменнику таким чином: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Отже, раціоналізований коефіцієнт залишається таким:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – м}}}}\)

Інший тип частки з радикалами, який можна раціоналізувати, це той, у якому ми маємо біном із квадратним коренем у знаменнику:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Де \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) і \(e\;\) — будь-які дійсні числа. Символ \( ± \) вказує на те, що знак може бути позитивним або негативним. Біном знаменника може мати обидва корені або лише один, однак ми використовуємо цей випадок для отримання більш загального результату. Центральна ідея проведення процесу раціоналізації в цьому випадку така ж, як і в попередніх випадках, тільки це у цьому випадку ми помножимо і чисельник, і знаменник на сполучене біном, знайдений у знаменник. Кон’югат бінома — це біном, який має однакові члени, але центральний символ якого протилежний вихідному біному. Наприклад, спряженим біномом \(ux + vy\) є \(ux – vy\). При цьому ми маємо:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Символ \( \mp \) вказує на те, що знак може бути позитивним або негативним, але він має бути протилежним символу знаменника, щоб біноми були спряжені. Розгортаючи множення біномів знаменника, отримуємо, що:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Нарешті ми отримуємо це:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \праворуч)\)

Завдяки цьому ми раціоналізували частку за допомогою радикала. Ці частки з радикалами є тими, які загалом можна раціоналізувати. Далі ми побачимо кілька прикладів раціоналізації радикалів.

приклади

Давайте розглянемо кілька прикладів раціоналізації з частками з радикалами типу, згаданого вище. Спочатку припустимо, що ми маємо такий коефіцієнт:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

У цьому випадку достатньо чисельник і знаменник помножити на \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Тепер припустімо, що ми маємо наступне приватне з радикалом:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

У цьому випадку ми маємо корінь шостої з кубічного степеня. У попередньому розділі ми згадували, що якщо ми маємо радикал у формі \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) у знаменник, ми можемо раціоналізувати приватне, помноживши чисельник і знаменник на \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Порівнюючи це з наведеним тут випадком, ми можемо зрозуміти, що \(n = 6\), \(c = 4\) і \(m = 3\), тому Отже, ми можемо раціоналізувати попередню частку, помноживши чисельник і знаменник на \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Нарешті, припустимо, що ми маємо таку функцію:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Як показано в попередньому розділі, щоб раціоналізувати цей тип частки за допомогою радикалів, вам потрібно помножити чисельник і знаменник на сполучене знаменника. У цьому випадку сполученим знаменником буде \(x – \sqrt x \). Отже, вираз буде таким:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Розвиваючи множення спряжених біномів знаменника, остаточно отримуємо, що:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Список літератури

Агілар Артуро, Браво Фабіан, Галлегос Герман, Серон Мігель і Рейес Рікардо. (2009). Арифметика. Мексика: Pearson Education.